définition des espaces de Fock

[invite69d38f86]

Bonjour
je suis a la recherche de la définition précise des espaces de Fock symétriques F sur un espace de Hilbert H.
j'ai trouvé cet article
j'y trouve page 31 une premiere définition qui me convient. c'est la complétion de l'ensemble W des séquences partout nulles saut en un nombre fini d'occurences.
Mais page 21 quand il prend la notation des physiciens (les kets) il écrit qu'un élément typique de F est une suite infinie d'éléments dont la somme des carrés des normes convergent.
la page 31 est il une précision qui limite ce qui n'était qu'une propriété (la convergence?
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[invite23cdddab]

La page 31 me semble erronée : ça n'est pas un produit scalaire.

Le bon produit scalaire est

[invite69d38f86]

Est ce la completion de W qui permet de dire que F est constitué de séquences infinies qui convergent?

[invite9dc7b526]

bizarre en effet. Ce n'est pas une coquille puisqu'il y a la même forme multiplicative sur la diapo 20 (pour le cas de 2 facteurs).

[A voir en vidéo sur Futura]

[0577]

Bonjour,

Est ce la completion de W qui permet de dire que F est constitué de séquences infinies qui convergent?

oui.

La page 31 me semble erronée : ça n'est pas un produit scalaire.

Le bon produit scalaire est

Je ne crois pas qu'il y ait d'erreur dans le texte. En revanche, la correction proposée n'est pas un produit scalaire (non-linéaire en la première entrée).
Il y a peut-être un problème de notations. J'interprète comme et je rappelle que si est un scalaire, alors

[Deedee81]

Salut,

EDIT doublé par 0577

Attention, les T0, T1, ... ne sont pas des composantes au sens vectoriel, sinon on n'aurait pas de structure de Fock. Il s'agit des vecteurs des différents sous-espace.
Donc ça dépend comment on l'exprime.
Voir dans l'article wikipedia en anglais, définition : https://en.wikipedia.org/wiki/Fock_space
c'est plutôt bien expliqué.

[invite23cdddab]

J'avais interprété le tuple (T0, ... Tn) comme un tuple (façon vecteur) de tenseurs de H^(xm) et non un tenseur

[invite69d38f86]

La somme directe d'une infinité d espaces de Hilbert peut elle etre définie sans parler de convergence det de complétion?le wiki anglais met ca dans une parenthese comme si c etait peu important.

[syborgg]

Bonjour
je suis a la recherche de la définition précise des espaces de Fock symétriques F sur un espace de Hilbert H.
j'ai trouvé cet article
j'y trouve page 31 une premiere définition qui me convient. c'est la complétion de l'ensemble W des séquences partout nulles saut en un nombre fini d'occurences.
Mais page 21 quand il prend la notation des physiciens (les kets) il écrit qu'un élément typique de F est une suite infinie d'éléments dont la somme des carrés des normes convergent.
la page 31 est il une précision qui limite ce qui n'était qu'une propriété (la convergence?

En effet, il y a une coquille en page 31 : comme le dis Tryss2, c'est une somme et non un produit.
Ensuite, etant donne une suite d'espaces de hilbert H_n, on considere 3 espaces emboites par inclusion : le plus grand est le produit des espaces, i.e. l'ensemble des suites (finies ou pas) (h_n) tellles que h_n appartient a H_n pour tout n. Puis, la somme directe algebrique (les suites nulles presque partout), qu'on peut munir d'une structure d'espace prehilbertien donne par le produit hermitien de la page 31. Mais il n'est pas complet. Entre les deux, le sous espace du produit constitue des suites dont la serie des normes au carre converge. Celui la est complet, et c'est facile de voir que c'est l'adherence de la somme directe : c'est donc sa completion.

[syborgg]

En fait, cet espace de Foch est plus qu'un espace vectoriel, c'est une algebre commutative unitaire (l'abelianisation de l'algebre tensorielle de H plus precisement).
Utilise t on le fait que c'est une algebre ?
Pourquoi est ce important qu'elle soit commutative dans ce contexte ? Pourquoi ne pas avoir considerer directement l'algebre tensorielle de H (non commutative) ?

[invite69d38f86]

il y a deux sortes d'espaces de Fock en physique.
les espaces antisymétriques comme
pour des particules de spin demi entier comme les électrons et
les espaces symétriques comme
pour des particules de spin entier comme les photons.

[syborgg]

il y a deux sortes d'espaces de Fock en physique.
les espaces antisymétriques comme
pour des particules de spin demi entier comme les électrons et
les espaces symétriques comme
pour des particules de spin entier comme les photons.

Ai je repondu a ta question initiale en #9 ?

[invite69d38f86]

en fait la distinction entre somme (directe) et produit (cartesien) ne m'avait pas choqué car
dans les espaces de Fock qui utilise la notion de somme directe les éléments sont donnés par des tuples (a, b, c .....) qui sont des éléments de produits cartésiens. ce qui me posait plus probleme c'est que d'un coté on parlait de tuples finis mais dont on prenait la complétion et d'un autre coté de tuples infinis dont la somme des carrés des normes convergeaient. je ne voyais pas tres bien la relation entre les deux.
en fait quand on se restreint a des tuples de dimension finie (nombre fini de particules) on reste dans un ssours espace vectoriel de l'espace de Fock général.

[syborgg]

en fait la distinction entre somme (directe) et produit (cartesien) ne m'avait pas choqué car
dans les espaces de Fock qui utilise la notion de somme directe les éléments sont donnés par des tuples (a, b, c .....) qui sont des éléments de produits cartésiens. ce qui me posait plus probleme c'est que d'un coté on parlait de tuples finis mais dont on prenait la complétion et d'un autre coté de tuples infinis dont la somme des carrés des normes convergeaient. je ne voyais pas tres bien la relation entre les deux.
en fait quand on se restreint a des tuples de dimension finie (nombre fini de particules) on reste dans un ssours espace vectoriel de l'espace de Fock général.

Oui c'est cela. Comme je le disais, l'espace F est coince par inclusion entre la somme directe et le produit.

[syborgg]

Je n'ai jamais bien compris pourquoi les physiciens tiennent tant a la notation Bra-Ket : qq'un peut m'expliquer ?

[invite69d38f86]

en math on met les vecteurs en gras ou avec une fleche par dessus
c est plus facile en typo de mettre un signe > a droite

[syborgg]

en math on met les vecteurs en gras ou avec une fleche par dessus
c est plus facile en typo de mettre un signe > a droite

En maths on note un vecteur par une lettre. C'est pour les petits qu'on met une fleche dessus.
Donc il doit y avoir d'autres raisons plus valables pour utiliser la notation BraKet.

[invite69d38f86]

les variables aussi sont notées par des lettres!
les bra kets sont aussi comme les parentheses gauches et droites quand on fait agir la forme <f| sur le vecteur |g> le résultat est le nombre complexe <f|g> la notation est pratique mais des parentheses auraient fait l'affaire.

[invite9dc7b526]

ou juste fg, c'est assez clair. Mais bon, chaque discipline a ses habitudes...