Reduite de jordan

[invite2b2da3a4]

Bonjour, je n'arrive pas à trouver la réduite de Jordan de cette matrice .

J'ai trouvé que le polynôme caractéristique de cette matrice est

Ce qui implique que .est une vp simple et .est vp double.

Ainsi est le vecteur p associé à x_1 et est le vecteur p associé à x_2. Il est est

claire qu'on peut compléter cette base par pour obtenir une base de et donc obtenir une

matrice de passage P inversible et une matrice de Jordan par bloc et tout mais je ne sais pas comment faire proprement et méthodiquement par la réduite de Jordan puisque cet exemple et quasiment facile.
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[invite2b2da3a4]

Je me trompe pour

[invite6710ed20]

Bonjour
En prenant x_3 au hasard (pourvu que cela forme une base avec x_1,x_2) tu as toutes les chances d'avoir une matrice triangulaire supérieure semblable mais peu de chance d'avoir la forme de Jordan.
Si A est ta matrice est bien la forme de Jordan demande que x_3 vérifie l'équation Ax_3=x_2+2x_3.
Donc tu résous cette équation qui aura au moins une solution (voir la théorie). Tu en choisis une de solution et tu pourra vérifier que tu obtiens bien ce qu'il faut

[invite2b2da3a4]

MERCI! juste une qu: est-ce que toujours lorsque on cherche un vecteur pseudo-propre pour la réduite de Jordan on résoudre l'équation (prenons les notations de l'exercice au-dessus) AX_3=X_2+(vp associé à la racine double)*X_3 ?
PS: Si c'est vrai que ce qu'on fait dans le cas ou on à une valeur propre triple?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6710ed20]

Rebonjour
Si la valeur propre est double et le s-e-v propre de dim 1, il n'y a pas de problème, on peut faire j'ai expliqué.

Si la valeur propre est triple (ou plus) il y a plusieurs cas de figures et la situation est plus compliquée.

Par exemple si le s-e-v propre est de dimension 2 alors soit une base (qcq) du sev propre
et bien on va avoir du mal à trouver tel que
Pour la simple raison que demande à ce que soit dans l'image de ce qui a peu de chance d'être la cas, si j'ai pris une base qcq.
Alors, en fait il faut commencer par déterminer d'abord qui est dans le noyau de . Alors détermine et on complète avec