Théorie des graphes et graphe d'une fonction

[guiguiadonf]

Bonjour à tous,

Ayant travaillé un petit peu la théorie des graphes, je me suis demandé de quelle manière on pouvait la relier au graphe d'une fonction, et sur internet on ne trouve pas grand chose à ce sujet.

Grosso modo de ce que j'ai compris un graphe est constitué d'objets appelés points, noeud etc reliés par une arête (liens ou lignes). Une arête est associée à deux sommets distincts.

Donc dans le cas du graphe d'une fonction je vois deux manière d'utiliser la théorie des graphes :

• Mettons qu'on une fonction telle que y=f(x), x∈ℝ et y∈ℝ ; on peut relier l’abscisse x à l'ordonnée y dans le cas d'un repère cartésien par une arête qui caractérise la relation qui existe entre les deux : la fonction. Qu'en pensez vous? Sauf que dans ce cas, l'arête n'est jamais dessiné sur le graphe d'une fonction, donc je vois mal cette utilisation.

• On peut relier les points correspondant à chacun des couples (x,y) issus du produit cartésien ℝXℝ par une arête qui serait caractéristique de la relation f'(x)dx, on utiliserait une sorte de méthode par approximation successives. Lorsqu'on lit un graphe, les arêtes sont visibles : c'est la courbe du graphe.

Qu'en pensez vous? Est ce un gros cracage de ma part, c'est à dire que la théorie des graphes n'a rien à voir avec le graphe d'une fonction, ou alors est ce que le début de lien, très mal formalisé (je fais des études de physique pas de maths) fait sens?

En vous remerciant
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[gg0]

Bonjour.

Les mots graphes dans les deux acceptions n'ont pas de lien mathématique historique. Dans le cas de la théorie des graphes, il s'agit d'un nom donné à un ensemble de problèmes qu'on peut ramener à étudier ce qu'on appelle un graphe (voir Wikipédia théorie des graphes). Pour les fonctions, il s'agit d'une théorisation de la classique "représentation graphique", pour laquelle on a choisi par simplification le nom graphe. Pour beaucoup d'auteurs, la fonction c'est le graphe (*).

Cordialement.

(*) Une fonction f de E vers F est la donnée de deux ensembles E et F et d'une partie f de ExF, son graphe. Plutôt que d'écrire , on a pris l'habitude d'écrire y=f(x)

[gg0]

Cependant, on peut trouver des liens entre les deux notions, par exemple un graphe orienté sans arêtes doubles peut être représenté par le graphe d'une fonction de A dans A où A est l'ensemble des arêtes. C'est moins artificiel que tes propositions, dont je ne vois pas trop l'utilité (on peut toujours relier n'importe quoi à n'importe quoi d'autre).

Cordialement.

[guiguiadonf]

Bonjour,

Merci pour vos réponses , je trouve que c'est une erreur d'avoir utilise le mot graphe pour deux concepts différents, pour le novice qui cherche à relier les choses entre elles ça donne des cheveux blancs !

En tout cas merci beaucoup!

[A voir en vidéo sur Futura]

[guiguiadonf]

Autre question qui me vient :

A quelle branche des mathématiques appartient la "représentation graphique" ?

Merci

[gg0]

La représentation graphique d'une fonction appartient au dessin géométrique quand c'est un tracé sur une feuille ou un écran.

[guiguiadonf]

Donc la géométrie analytique?

[superkarl]

Tu te poses trop de questions^^

Mais si j'en crois la définition wikipédia de géométrie analytique, oui.

[guiguiadonf]

Je ne pense pas qu'on se pose assez de question , ça roule! merci à tous pour vos réponses!

[Médiat]

Bonjour,

Pour beaucoup d'auteurs, la fonction c'est le graphe

Qu'est-ce que cela pourrait être d'autre ?

[gg0]

Bonjour Médiat.

Dans la définition que j'ai donnée ensuite, la fonction est un triplet (ensemble de départ, ensemble d'arrivée, graphe). Pour certains ça a de l'importance.

Cordialement.

[gg0]

Donc la géométrie analytique?

Non,

ce dont je parlais est très concret, certains diront non-mathématique. Il s'agit de vrais dessins. La géométrie analytique est de la pure géométrie.

Quand dans un dessin tu trace un trait droit pour représenter la fonction x--> 2x+3, tu représente sa courbe, qui n'est pas un trait sur une feuille, mais une droite. La représentation graphique est donc un trait sur une feuille ou un écran. Le graphe est l'ensemble des points du plan s"z coordonnées (x, 2x+3), ensemble qui est une droite du plan.

Cordialement.

[Médiat]

Salut,

Dans la définition que j'ai donnée ensuite, la fonction est un triplet

Nous sommes d'accord, c'est bien cela le graphe (pour être un sous-ensemble de ExF, il faut connaître E et F).

[gg0]

Ah, alors on n'a pas la même définition du mot (pays différents, habitudes différentes). Pour moi, le graphe est la partie de ExF, ce qui le différencie de la fonction. Mais ça n'a pas beaucoup d'importance, sauf dans certaines parties spécialisées où il faut redonner la signification des mots utilisés.

Cordialement.

[minushabens]

L'ensemble des couples (x,f(x)) suffit à définir la fonction, non? L'ensemble de départ n'est que la réunion des {x} et l'ensemble d'arrivée la réunion des {f(x)}

[Médiat]

Non, pas tout à fait (sinon toutes les fonctions seraient surjectives)