Bonjour à tous, dans le cadre d'une preuve de théorème, je me retrouve au final à devoir prouver une égalité de sommations, c'est le dernier point que je dois démontrer afin de finaliser ma preuve, mais je n'y arrive pas.
L'égalité est la suivante :
Si vous pouviez m'éclairer sur la façon de procéder, cela m'aiderait beaucoup !
Essaie pour n=4 par exemple, ça doit devenir alors évident.
Effectivement, en remplaçant n par 4, je prouve aisément cette équation, comme pour toutes les valeurs que j'attribue à N d'ailleurs (bien que cela puisse parfois être fastidieux). Je vois également qu'il s'agit très clairement du développement d'un carré d'une somme où les termes sont classés par degré... Cela dit je n'ai toujours pas de déclic pour généraliser cette preuve, ai-je vraiment moyen de manipuler les sommations afin d'obtenir l'égalité ? Comment y procéder ? Je suis perdu
Bjr,
par récurrence, que donne
Bonjour.
Le premier membre est le produit de chacun des termes par tous les termes. Quand on va l'effectuer, on aura les carrés (un terme par lui-même) et le reste, constitués par des produits de deux termes différents. Chacun, par commutativité, va apparaître deux fois (i par j puis j par i) et on aura tous les doubles produits en prenant i<j de toutes les façons.
Si cette preuve verbale ne te va pas, tu fais une preuve par récurrence sur N, la somme de 1 à N+1 étant la somme de la somme de 1 à N et du N+1-ième terme.
Cordialement.
Merci beaucoup pour vos réponses, je n'avais pas pensé à prouver cela par récurrence, j'imagine que ça ne dois pas être bien compliqué. La réponse verbale est très bien et assez intuitive, mais j'ai peur qu'en me relisant je ne comprenne plus réellement le sens de lecture, je noterai donc les deux afin d'être le plus clair possible... Merci !
Est ce que tu vois le truc au moins ? : D'abord il y a les Termes qui se multiplient à eux même d'où le premier membre |xi|^2. Ensuite vient la multiplication des Termes entre-eux pour chaque |xi| |xj| tu vas aussi tomber sur |xj| |xi| d'où le 2 dans 2 |xi| |xj| car la multiplication est commutative. Ensuite pour les indices de la somme, car on a déjà les deux termes grâce au 2, il ne faut parcourir la somme partiellement en prenant i < j.
Pour la rédaction tu peux simplement écrire la somme dans le cas général somme^2=Somme pour i et j allant de 1 à n des |xi| |xj| et ensuite tu découpe ta somme en prenant les Termes pour lesquels i=j puis i<j et ensuite j<i. Comment le produit est commutative, ces deux dernières sommes (i<j et j<i, ce sont des variables muettes tu peux appeler j pour i, et i pour j) sont égales d'où la simplification avec le 2 en facteur de |xi| |xj|.
non, c'est même immédiat.Envoyé par SqrtNomis
( d'autant que pour tout i<=N , i<N+1 , donc pas de souci pour l'ensemble de la somme avec i<j )
