Equation différentielle plusieurs variables

[jeremy31400]

Bonjour.

Dans le cadre d'un TIPE (niveau maths spé, bac +2) je suis amené à résoudre une équation différentielle vérifiée par le potentiel électrostatique qui dépend (en coordonnée polaire) de théta et de r :


Les paramètres B0, w0, a et r0 sont constants

Est-ce qu'il est possible d'obtenir une solution de manière analytique d'une telle équation ?
Sinon, savez-vous s'il est possible d'en obtenir une approximation à l'aide d'un algorithme informatique (même s'il est évidemment préférable de la résoudre analytiquement) ?

Je vous remercie par avance de votre aide.
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[Resartus]

Bonjour,
C'est une équation linéaire à coefficients constants. Toutes les solutions sont la somme d'une solution particulière de l'équation avec second membre, et des solutions de l'équation sans second membre (=homogène)

1) Il faut trouver une solution particulière de l'équation. Cela
semble difficile, mais j'ai l'impression qu'en posant V=U.exp(-r²/2a²) ou bien V=W.r.exp(-r²/2a²) on doit arriver à une équation plus simple en U ou W,
où on doit pouvoir séparer le second membre en deux termes, l'un indépendant de theta (dont la solution dépendra de r seulement), et l'autre qui ne contient que cos(theta) dont la solution sera fonction de theta seulement.
Pas le courage de tester. Dites-nous si cela marche...
2) trouver toutes les solutions de l'équation homogène.Elle est à variables séparées, donc assez facile. C'est une famille à deux paramètres
3) la dernière étape sera de trouver la solution qui répond aux conditions aux limites en ajustant les deux paramètres de la solution trouvée en 2. Mais je soupconne que dans votre cas, la condition étant zero à l'infini, vous n'aurez rien à rajouter. Et dans ce cas, ce serait même inutile de trouver les solutions du point 2 (mais comme c'est un TIPE, je suppose que vous aurez besoin de montrer que vous savez le faire)

[jeremy31400]

Bonjour,
Merci infiniment pour votre aide !
Nous avons suivit la même méthode, c'est-à-dire séparer le terme qui ne dépend que de r et celui qui dépend à la fois de r et de théta. Notre professeur nous à aidé à trouver une solution pour le deuxième terme plus complexe à l'aide du logiciel Maple.

Nous avons donc bien trouver la solution générale :


Grâce aux conditions nulles en +infini on a bien C2=0 et C1=B0w0a^2 comme vous l'aviez soupçonné.
Merci une nouvelle fois !

[jeremy31400]

C1=0 aussi, petite erreur de précipitation.

[A voir en vidéo sur Futura]