centre de courbure et equation de developpee

[z1010]

Bonjour,<br>
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Je suis retraité et veux me venger des mathématiques de mon adolescences. Je travaille sur le manuel de M PISKOUNOV et suis bloqué à l'exercice du chapitre 6 exercice 27 dont voici l'intitulé : Trouver les coordonnées du centre de courbure (Ó,ß) (alpha, beta) et l'equation de la developpee de la courbe suivante x = k ln(cotan(t/2) - k cos(t); y = k sin(t)<br><br>
Je devrai aboutir à la réponse de y = k/2 (e^(x/k) + e^(-x/k))
Trouver Ó et ß est simple, selon le manuel Ó =x- y'(x'² + y'²)/(x'y'' - x''y') et ß = y +x'(x'²&nbsp;+ y'²)(x'y'' - x''y')
Ó et ß sont alors exprimés sous forme trigonométriques. mais je n'arrive pas à transformer mon ß en expression de Ó de façon à avoir cette belle expression de developpée à base d'exponentielle.
Comme je veux suivre le cours, je dois me débrouiller qu'avec les derivées.....
Y aurait'il un vieux mathématicien blanchi sous le harnais pour m'aider ?;
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[eudea-panjclinne]

L'équation paramétrique [1] est plutôt:
x=k ln(cotan(t/2))-kcos(t)
y=k sin(t)

Il faut montrer que sa développée est une chainette.
Donc, en gros l'équation [1] donnée au-dessus est une développante : on sait que la développante d'une chainette est une tractrice (toutes ces notions faisaient partie du bagage mathématique du Taupin moyen des années 70...).
On va ruser.
On fait un changement de paramétrage dans l'équation paramétrique donnée [1]
on pose (on peut) :
th(T)=cos(t)
1/ch(T)=sin(t) avec t dans ]-pi/2; pi/2[

L'équation paramétrique [1] donne
x=k T-k th(T)
y=k/ch(T)
précisément l'équation d'une tractrice dont on sait que la développée est une chainette.

J'ai essayé de faire comme toi pour trouver la développée avec les formules classiques mais cela est vraiment horrible et je n'ai pas vu la simplification.
Je pense que le calcul est plus facile avec l'équation paramétrique classique de la tractrice...
Quand j'étais jeune étudiant toutes ces notions me fascinaient.
Bon travail et amuse-toi bien.

[z1010]

Merci beaucoup de ta réponse rapide. Ma formulation de x était effectivement fausse, merci de la correction.
Je vais certainement te réécrire car je dois d'abord intégrer quelques notions la première difficulté étant que la
tangente hyperbolique serait égale au cosinus avec t dans ]-pi/2; pi/2[.
A plus tard
z1010

[z1010]

Bonjour Eudea-panjclinne (à ce sujet que veut dire ce pseudo qui sent bon le Grec),

J'ai presque tout compris, j'ai d'ailleurs trouvé une démonstration de développée de x = T - th(T), y = 1/ch(T) donnant y = ch(T) dans "Analyse, premières notions fondamentales de "Abou Kouider BEN-NAOUM" , comme ch(T) = (e^T + e^-T)/2 je suis presque grâce à Internet proche à k près de la solution......
Mais je n'arrive pas mais alors pas à démontrer comment th(T)=cos(t).
Presque au but mais toujours à coté (on croirait un statisticien...)
z1010 = z10 = Zieten (nom de famille prononçable zi-ten z10 en anglais donc z-1010 en binaire: bof...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[z1010]

Bonsoir eudea-panjcline

Grace a tes précieuses indications, je m'approche de plus en plus de la solution.
J'ai trouvé grâce au site Chronomath une explication de la tractrice ou l'explication de sin(t) = 1/cosh(u) avec tan(t/2) = e^-u = T convaincante.
J'ai suivi scrupuleusement en vérifiant tout sur Abou Kouider BEN-NAOUM et ai aboutit a ce que le y de la développée vaille k cosh(u) donc k(e^u +e^-u)/2
trés proche de k(e^x/k - e^-x/k)/2
Il ne me reste plus qu'a prouver que u = t/2 mais j'en peu plus. Je vais passer enfin aux autres exercices.
Bien à toi
z1010

[eudea-panjclinne]

Bonjour Eudea-panjclinne (à ce sujet que veut dire ce pseudo qui sent bon le Grec),

Simple anagramme de mes prénom et nom.
Bon travail et plaisir pour tes recherches.

[z1010]

Merci
z1010