resolution d'un systeme differentiel avec l'exponentielle de matrice

[invite5048c004]

ENONCE

SOIT A=

9/2 1/2 -5/2
2 3 2
3/2 1/2 1/2

N =

1 0 -1
2,0,-2
1 0 -1


a) calculer N^k pour tout k dans N et deduire la matrice exp(tN) pour tout t dans R


N^k = 0 a partir de k=2


e(tn) =
t+1 0 -1
2 t -2
1 0 t-1



b ) donner les valeurs propres de A-N et dire si A-N est diagonalisable et dire pk exp (tA)=exp(t(A-N))* exp(tN)

les valeurs propres sont 2 VP simple et 3 valeur propre double donc A-N est diagonalisable car la dimension des sous espace propre ( que j'ai calcuer ) est egale a la multiplicité des valeurs propres


et A =( A-N) + N donc exp(tA)= exp((tA-tN)+tN) = exp(t(A-N))*exp(tN)

c) on veut resoudre( E )
2x'=9x+y-5z
y'= 2x+3y-2z
2z'= 3x+y+z
comment montrer que l'ensemble des solutions est l'ensemble des fonctions de la forme fv(t)= exp(TA) *V avec V dans R^3
je sais que c'est la definition de l'ensemble des fonctions solutions d'un systeme de la forme X'=AX mais comment montrer ?


et comment resoudre le systeme ?


MERCI , melissa
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[albanxiii]

Rappel de la charte du forum :

2. La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes.

[invite3b3023e5]

Bonjour

T'as montré en b que A est diagonalisable donc A=PDP^-1 avec D mat diagonale et P mat de passage (je vais dire que Q c'est P^-1)

T'as donc X'=PDQX donc QX'=DQX
Tu poses Y=QX
Donc Y'=DY et ton système est résolu