resolution d'un systeme differentiel avec l'exponentielle de matrice
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resolution d'un systeme differentiel avec l'exponentielle de matrice



  1. #1
    melissamontpellierfds

    resolution d'un systeme differentiel avec l'exponentielle de matrice


    ------

    ENONCE

    SOIT A=

    9/2 1/2 -5/2
    2 3 2
    3/2 1/2 1/2

    N =

    1 0 -1
    2,0,-2
    1 0 -1


    a) calculer N^k pour tout k dans N et deduire la matrice exp(tN) pour tout t dans R


    N^k = 0 a partir de k=2


    e(tn) =
    t+1 0 -1
    2 t -2
    1 0 t-1



    b ) donner les valeurs propres de A-N et dire si A-N est diagonalisable et dire pk exp (tA)=exp(t(A-N))* exp(tN)

    les valeurs propres sont 2 VP simple et 3 valeur propre double donc A-N est diagonalisable car la dimension des sous espace propre ( que j'ai calcuer ) est egale a la multiplicité des valeurs propres


    et A =( A-N) + N donc exp(tA)= exp((tA-tN)+tN) = exp(t(A-N))*exp(tN)

    c) on veut resoudre( E )
    2x'=9x+y-5z
    y'= 2x+3y-2z
    2z'= 3x+y+z
    comment montrer que l'ensemble des solutions est l'ensemble des fonctions de la forme fv(t)= exp(TA) *V avec V dans R^3
    je sais que c'est la definition de l'ensemble des fonctions solutions d'un systeme de la forme X'=AX mais comment montrer ?


    et comment resoudre le systeme ?


    MERCI , melissa

    -----

  2. #2
    albanxiii
    Modérateur

    Re : resolution d'un systeme differentiel avec l'exponentielle de matrice

    Rappel de la charte du forum :

    2. La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  3. #3
    Matouti

    Re : resolution d'un systeme differentiel avec l'exponentielle de matrice

    Bonjour

    T'as montré en b que A est diagonalisable donc A=PDP^-1 avec D mat diagonale et P mat de passage (je vais dire que Q c'est P^-1)

    T'as donc X'=PDQX donc QX'=DQX
    Tu poses Y=QX
    Donc Y'=DY et ton système est résolu

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