Addition dans Q
Bonjour,
Lorsque l’on construit l’ensemble des rationnels Q, on définit l’addition de la manière suivante : pour tous a, b, c, d, avec b et d non-nuls, a/b + c/d = (ba + cd)/(bd). Cette addition repose sur le fait que a/n + b/n = (a + b)/n (*), pour tout entier n non-nul, ainsi que (ka)/(kb) = a/b pour tout entier k non-nul (grâce à une relation classique d’équivalence avec laquelle on définit les classes d’équivalence). Elle induit aussi les propriétés de la multiplication dans Q que l’on définit après. Mais tout part du fait que (*) fonctionne. Je voulais alors savoir d’où venait exactement (*) ? Est-elle établie car elle se vérifie géométriquement** ? Ou y a-t-il une preuve arithmétique de ce résultat, c’est-à-dire du fait que, dans Z, diviser (au sens premier du terme) une somme de deux entiers par n (entier non-nul) revient à sommer les divisons respectives par n de ces deux entiers [il s’agit bien de voir (*) comme (a÷n) + (b÷n) = (a + b)÷n]. C’est pour savoir à quel point l’ensemble des rationnels est défini à partir d’une vision intuitive de ses éléments.
**par exemple, en imaginant un rectangle de hauteur 1 et de longueur a et un autre de hauteur 1 encore et de longueur b, en mettant côte à côte ces deux-ci, on voit que l’en divisant par n et l’un et l’autre, cela revient à diviser par n le rectangle somme de hauteur 1 et de longueur (a + b) ;
Merci
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