Bonsoir !
En me penchant sur les axiomes de Péano, j’ai entrepris de construire l’addition et la multiplication dans IN. Je voulais alors savoir si mon raisonnement était bon :
(Je rappelle les axiomes de Péano :
1. L'élément appelé zéro et noté 0 est un entier naturel.
2. Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou Sn.
3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
4. Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux.
5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à N. (cf. Wikipedia))
Le principe de récurrence est supposé démontré.
Pour la suite, on définit, pour tout entier naturel n, n+1:=s(n) pour faciliter les expressions.
Soit a un entier naturel. Définissons une application ~ : IN—>IN telle que ~ respecte :
1. a~0=0~a=a
2. Pour tout entier naturel n, a~(n+1)=(a~n)+1
Vérifions que ~ correspond bien à l’idée intuitive que l’on se fait de l’addition par récurrence :
//Par «*addition intuitive*», je veux dire que, a fixé, pour tout entier n, a+n=a+1)+...)+1 (1 apparaissant n fois)//
Soit a un entier naturel.
n=0 : a~0=a
n=1 : a~1=a~(0+1)=(a~0)+1=a+1
n=2 : a~2=a~(1+1)=(a~1)+1=(a+1)+1
n=3 : a~3=a~(2+1)=(a~2)+1=((a+1)+1)+ 1
Conjecture : pour tout entier naturel n,
«*a~n=a+1)+...)+1 [«*)+1*» n fois] (c’est-à-dire que (a~n) est le n-iéme successeur de a) *il faut évidemment imaginer que les parenthèses sont correctement refermées à gauche**»
Soit n appartenant à IN et supposons que notre propriété est vérifiée à ce rang. Montrons qu’il en va de même au rang s(b) :
a~(n+1)=(a~n)+1=[a+1)+...)+1] (n fois) +1
(d’après l’hypothèse de récurrence)
=a+1)+...)+1 (n+1 fois)
Conclusion selon le principe de récurrence que ~ correspond bien à «*l’addition intuitive*».
En notant a+n=a+1)+...)+1 le n-ième successeur de a pour tout entier naturel n, on vient de montrer que a+(n+1)=(a+n)+1 (Δ).
Ainsi, en utilisant Δ, on peut démontrer les propriétés usuelles de l’addition (associativité, commutativité etc.).
De manière analogue, en fixant a, je définis une application • : IN—>IN qui pour tout entier n satisfait :
1. a•0=0
2. a•(n+1)=(a•n)+a
et je montre que • correspond bien à l’idée intuitive que l’on se fait de la multiplication, en montrant que a•n=a+...+a (n fois) pour en conclure que ax(n+1)=axn+a (θ)
Je voulais alors savoir si mes conclusions sur Δ et θ étaient correctement déduites.
Merci pour votre attention.
Cordialement
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