Construction de N par les axiomes de Peano

[Seirios]

Bonjour à tous,

D'après ce que j'ai compris, l'on peut construire l'ensemble des entiers naturels par les axiomes de Peano, c'est-à-dire qu'il existe un triplet , avec 0 un élément de l'ensemble et S une application injective de dans , telle que (S est l'application succession) ; de plus, si 0 appartient à un ensemble A, et si , alors .

Je suis d'accord que répond à ses axiomes, mais est-il ainsi défini de manière unique ? Et S ne présuppose-t-elle une définition d'ordre dans ?

Merci d'avance
Phys2
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[Médiat]

Je suis d'accord que répond à ses axiomes, mais est-il ainsi défini de manière unique ?

Oui ! (à isomorphisme près, bien sur), cela se démontre très facilement par un va et vient.

Et S ne présuppose-t-elle une définition d'ordre dans ?

Non, je ne vois pas où la relation d'ordre est utile.

Remarque 1 : il me semble que dans les axiomes de Peano, il y a les définitions de + et de x
Remarque 2 : la définition que tu donnes est du deuxième ordre, donc non soumise au théorème d'incomplétude de Gödel.

[Seirios]

Non, je ne vois pas où la relation d'ordre est utile.

Je pense que la réponse à ma question vient de l'axiome de récurrence ; c'est lui qui permet de déterminer de manière unique l'application injective S (en plus de la caractéristique ).

Remarque 1 : il me semble que dans les axiomes de Peano, il y a les définitions de + et de x

Dans mon document, l'addition et la multiplication, comme lois de composition interne à , sont présentées juste après les axiomes de Peano, mais en sont détachées.

Oui ! (à isomorphisme près, bien sur), cela se démontre très facilement par un va et vient.

Comment retrouve-t-on exactement cette unicité ?

[Médiat]

Comment retrouve-t-on exactement cette unicité ?

Soit et deux modèles de tes axiomes.
On définit de la façon suivante :
et


On peut montrer facilement que , puisque
et
ce qui montre bien que et par l'axiome de récurrence on conclut que

Pour montrer que c'est dans le même genre, pour l'injectivité, il faut considérer l'ensemble et appliquer la récurrence.

PS : il y a une chose essentielle que je n'ai pas dîte

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

PS : il y a une chose essentielle que je n'ai pas dîte

L'idée générale ne serait-elle pas de montrer que f est un isomorphisme de E vers F ? (et dans ce cas il faudrait sans doute montrer que est un morphisme de F vers E, par un raisonnement analogue)

[Médiat]

L'idée générale ne serait-elle pas de montrer que f est un isomorphisme de E vers F ?

Bien sur, mais ça, f le fait très bien sauf que je n'ai pas montré que f était bien une fonction (mais cela se fait de la même façon que les autres propriétés

(et dans ce cas il faudrait sans doute montrer que est un morphisme de F vers E, par un raisonnement analogue)

Si tu montres que f est
1) une fonction
2) de domaine E
3) surjective
4) injective
5) telle que y = s_E(x) ==> f(y) = s_F(f(x))
Alors tu auras bien montré que c'est un isomorphisme pour les structures considérées.

Le point 5 est acquis par construction, je t'ai montré la démonstration pour le point 2 (et le point 3 est similaire) et le point 4, reste le point 1.

[Seirios]

Il y a juste un détail que je ne comprends pas : je sais que le fait qu'il existe un isomorphisme entre deux structures permet d'avoir des propriétés similaires, mais qu'en est-il vraiment, c'est une relation qui reste encore floue pour moi ?

[Médiat]

Il y a juste un détail que je ne comprends pas : je sais que le fait qu'il existe un isomorphisme entre deux structures permet d'avoir des propriétés similaires, mais qu'en est-il vraiment, c'est une relation qui reste encore floue pour moi ?

Deux structures isomorphes sont plus que similaires, elles sont identiques aux noms près.

En utilisant la même notation qu'au message #3 (et en ne considérant que des langages avec égalité) :

est isomorphe à ( est le connecteur logique "et"), l'isomorphisme étant facile à trouver.
Un exemple plus simple :
et sont isomorphes.

Dans les deux exemples précédents, il est facile de voir que l'on peut passer d'une structure à l'autre simplement en changeant les noms des objets.

[Seirios]

Voici donc le raisonnement que j'ai pu faire :

Soient et deux structures répondants aux axiomes de Peano, et f une application définie par : .

Montrons tout d'abord que f est bien une fonction. Si , alors . Supposons par la suite que ; comme et , on a , soit . Par l'axiome de récurrence, la propriété est vraie pour tout , donc f est bien une fonction.

Ensuite, montrons que . Par la définition de f, . Ensuite, si , alors existe et . Par l'axiome de récurrence, , d'où puisque par construction .

Montrons que f est injective. Soit l'ensemble ; on a et puisque n'a pas de prédécesseur. Donc . Supposons ; comme et puisque sont injectives, alors . Donc , d'où . Donc f est injective, puisque .

Montrons que f est surjective ; pour cela, puisque nous savons que f est injective, montrons simplement que . Il est immédiat que . Supposons que ; nous avons . Par l'axiome de récurrence, .

On notera également que par construction, f est un morphisme.

Au final, nous avons montrer que f était une fonction, un morphisme de surcroît, que et que f était injective et surjective. Par conséquent, f est un isomorphisme de E vers F, et E et F sont isomorphes. Q.E.D.


Finalement, nous montrons que si E et F satisfont aux axiomes de Peano, alors ils sont isomorphes. Donc les axiomes de Peano définissent tous les ensembles isomorphes avec , comme lui-même ou bien , c'est-à-dire de manière générale, tous les ensembles dénombrables, non ?

[Médiat]

Donc les axiomes de Peano définissent tous les ensembles isomorphes avec , comme lui-même ou bien , c'est-à-dire de manière générale, tous les ensembles dénombrables, non ?

Je regarderai le reste plus tard, mais ceci est faux (ce n'est pas ce que j'ai écrit), je te laisse réfléchir (la réponse est dans mon message précédent.

[Seirios]

Donc les axiomes de Peano définissent tous les ensembles isomorphes avec , comme lui-même ou bien , c'est-à-dire de manière générale, tous les ensembles dénombrables, non ?

Une rectification tout de même, ce que j'ai écris est une absurdité logique : les axiomes de Peano ne définiraient pas tous les ensembles isomorphes avec , mais définissent des ensembles qui sont isomorphes avec (pas tous).

[Médiat]

Une rectification tout de même, ce que j'ai écris est une absurdité logique : les axiomes de Peano ne définiraient pas tous les ensembles isomorphes avec , mais définissent des ensembles qui sont isomorphes avec (pas tous).

Je répète que et sont isomorphes, pas et (ce qui est au mieux un abus de langage au pire une ânerie).

Pour les axiomes de Peano, il faut se demander si
et sont isomorphes, pour la definition de , et , il n'y a pas d'ambiguité car il existe des candidats naturels, ce qui n'est pas le cas de (pas de notion naturelle de successeur dans , effectivement il y en a quand même, mais il faut l'expliciter pour savoir de quoi on parle.)

[Seirios]

Je répète que et sont isomorphes, pas et (ce qui est au mieux un abus de langage au pire une ânerie).

Effectivement, puisqu'il est nécessaire d'associer aux ensembles une application pour pouvoir parler de morphisme.

Pour les axiomes de Peano, il faut se demander si
et sont isomorphes, pour la definition de , et , il n'y a pas d'ambiguité car il existe des candidats naturels, ce qui n'est pas le cas de (pas de notion naturelle de successeur dans , effectivement il y en a quand même, mais il faut l'expliciter pour savoir de quoi on parle.)

D'accord. Donc finalement, l'on peut construire l'ensemble , par exemple, grâce aux axiomes de Peano. A-t-on idée de l'ensemble des triplets isomorphes avec ?

[Médiat]

Effectivement, puisqu'il est nécessaire d'associer aux ensembles une application pour pouvoir parler de morphisme.

Ce n'est pas encore tout à fait cela : pour parler de morphisme (je ne me place pas dans la théorie des catégories), il faut un langage ou, a minima, la signature d'un langage (je considère que parler de morphisme de corps est un abus de langage (pas grave), on devrait parler de morphisme du langage des corps (ou même, des anneaux, puisque c'est le même langage)) ; si je peux dire que est isomorphe à c'est parce que les parenthèses, qui dans tous mes messages sur ce fil permettaient de définir un ensemble et les interprétations, dans cet ensemble, des éléments du langage, indique que je me place dans le langage vide (à l'égalité près), autrement dit ici, un morphisme est juste une application et un isomorphisme une bijection.
Si on parle de et de sans les parenthèses, c'est à dire sans préciser qu'il n'y a pas de symbole dans le langage, je ne sais pas de quoi on parle, est-ce que est muni de la fonction successeur, de +, de x, de la relation de divisibilité, de la relation d'ordre etc. ???

D'accord. Donc finalement, l'on peut construire l'ensemble , par exemple, grâce aux axiomes de Peano. A-t-on idée de l'ensemble des triplets isomorphes avec ?

Deux façons de faire :
1) tu prends , tu changes les noms et pof, tu as une structure isomorphe
2) Tu prends un ensemble dénombrable quelconque , il existe donc des bijections entre et , soit l'une d'entre elles, jouera le rôle de , et pour définir , on pose, . Comme f est une bijection, est bien entièrement définie.

Un mot de plus : la question intéressante qui n'est pas loin de la tienne est "A quoi ressemblent les différents modèles (non isomorphes) d'une théorie complète", mais la question "A quoi ressemblent les modèles isomorphes à tel modèle particulier" n'est pas très intéressante, parce que justement tous ces modèles sont essentiellement identiques.

[Seirios]

Une petite question sur une remarque que j'avais laissée de côté :

Remarque 2 : la définition que tu donnes est du deuxième ordre, donc non soumise au théorème d'incomplétude de Gödel.

A quoi correspond exactement une définition du deuxième ordre ?

[Médiat]

A quoi correspond exactement une définition du deuxième ordre ?

A une quantification sur les sous-ensembles.

[Médiat]

A quoi correspond exactement une définition du deuxième ordre ?

Je complète ma réponse précédente par une question :
Quelle est la différence fondamentale (quelles sont les différences fondamentales) entre
Pour tout ensemble tel que
et alors

Pour toute formule :
et alors

Que ceux qui savent ne répondent pas, l'intérêt est de creuser les raisons des mauvaises (ou incomplètes) réponses .

[Seirios]

Quelle est la différence fondamentale (quelles sont les différences fondamentales) entre
Pour tout ensemble tel que
et alors

Pour toute formule :
et alors

C'est la différence entre l'axiome de réccurrence et le principe même ; déjà, l'on utilise pas les mêmes notions, puisque l'on utilise pour le premier la notion d'ensemble, et pour le second la notion de formule, mais l'un découle de l'autre. Ensuite, je ne sais pas quoi ajouter d'autre...

[Thorin]

Je complète ma réponse précédente par une question :
Quelle est la différence fondamentale (quelles sont les différences fondamentales) entre
Pour tout ensemble tel que
et alors

Pour toute formule :
et alors

Que ceux qui savent ne répondent pas, l'intérêt est de creuser les raisons des mauvaises (ou incomplètes) réponses .

ya des "quelque soi" dans l'un et pas dans l'autre ?

[Médiat]

utilise pour le premier la notion d'ensemble, et pour le second la notion de formule

C'est pas faux, mais en quoi est-ce fondamental ?

l'un découle de l'autre

Je ne suis pas sur de comprendre ce que tu veux dire (et au moins une interprétation me forcerait à dire que c'est faux ).

ya des "quelque soi" dans l'un et pas dans l'autre ?

Non, j'ai repris la définition telle qu'elle a été donnée par Phys2, mais j'aurais pu ajouter le quantificateur sur n, dans le premier énoncé, sans rien changer (ce que l'on appelle la généralisation).

J'en profite pour rectifier une faute de frappe : dans l'énoncé avec la formule, le premier quantificateur devrait porter sur n et non sur x.

[Seirios]

Je ne suis pas sur de comprendre ce que tu veux dire (et au moins une interprétation me forcerait à dire que c'est faux ).

Ici, le principe de récurrence se déduit de l'axiome.

C'est pas faux, mais en quoi est-ce fondamental ?

Si l'on déduit le principe de récurence de l'axiome de récurrence, et non l'inverse (ce dont je ne suis pas certain, mais a priori je ne vois pas comment l'on pourrait procéder), alors l'utilisation d'ensembles doit avoir une portée plus générale, plus fondamentale.

[Médiat]

Ici, le principe de récurrence se déduit de l'axiome.

C'est exact ; on peut noter que ce que tu appelles le principe de récurrence est en fait un schéma d'axiomes, ce qui sous-entend que l'on peut écrire tous les axiomes (au moins ceux dont on a besoin), alors qu'on ne peut faire de même pour les sous-ensembles.

Si l'on déduit le principe de récurence de l'axiome de récurrence, et non l'inverse (ce dont je ne suis pas certain, mais a priori je ne vois pas comment l'on pourrait procéder), alors l'utilisation d'ensembles doit avoir une portée plus générale, plus fondamentale.

Oui encore, mais on peut creuser un peu plus : même en ajoutant au langage une infinité de symboles de constantes (1 pour chaque entier), il n'est pas possible d'écrire un schéma d'axiomes qui soit équivalent à l'axiome du 2^nd ordre.

Une piste pour mieux comprendre :