Axiomes des tribus

[invite00970985]

Bonjour,

Je suis en train de voir les intégrales de lebesgue, et je commence donc par les tribus qui sont définies par 3 axiomes, et l'un d'entre eux me pose problème :

• Si T est un tribu sur un ensemble X, alors pour toute famille dénombrable d'éléments de T, on a :

Ce que je ne saisi pas, c'est que si chaque fait parti de T, pourquoi leurs intersection ne fait pas non plus forcément parti de T. Si quelqu'un pouvait me donner un petit contre exemple ...

Merci,
Seb
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[invite35452583]

Déjà, il n'y a aucun raison que ce soit stable par intersection : exemple T et l'ensemble des parties de R qui continnent soit 0 soit 1, ils sont très nombreux pourtant il suffit de l'intersection de deux d'entre eux bien choisis ({0} et {1} par exemple) pour que l'intersection ne soit pas dans T.

Autre contre-exemple les ouverts de R :
l'intersection dénombrable de ces ouverts n'est pas un ouvert. Ainsi l'union des intervalles ouveerts de R est une topologie (l'usuelle) de R, en particulier est stable par intersection finie, mais n'est pas une tribu car n'est pas stable par intersection dénombrable. C'est le cas de la plupart des topologies courantes.

[invitea7fcfc37]

Salut,

Je vais peut être dire n'importe quoi parce que je m'y connais pas du tout là dessus mais par exemple : {1;2} {2;3} appartient à T {2} n'y appartient pas forcément ?

[invite00970985]

Merci homotopie !

Je pense que je faisais une légère confusion avec l'union ...

@+
Seb

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Merci homotopie !

Je pense que je faisais une légère confusion avec l'union ...

@+
Seb

avec l'union il y a les mêmes problèmes justement.
Tu remplaces les ouverts par les fermés pour le 2ème exemple et pour le 1er exemple par T est l'ensemble es parties ne contenat pas 0 ou ne contenant pas 1.
Les tribus respectant l'axiome du complément si A est dans T alors le complément de A est dans T, or le complément transforme union en intersection et vice-versa.

Bon, pososns clairement la question : comment les tribus ont été introduites ? comme un élément purement théorique ou comme quelque chose d'indispensable pour définir une mesure ?

[invite00970985]

Honnetement je n'ai pas encore assez avancé dans le cours pour comprendre quoi que ce soit de l'utilité des tribus (mais ca viendra surement :P)


Merci encore de tes explications ...
++
Seb

[invited5b2473a]

Pour faire simple, en gros, les ensembles de ta tribu sont les ensembles que tu peux mesurer (par exemple, l'aire). Car comme tu le verras, il existe des ensembles non mesurables.