Bonjour,
Je viens d'étudier la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires façon dichotomie très intéressante mais je me demandais au niveau du programme pourquoi la précision c'est? Pourquoi quand on a
Tant que (b - a) > ε
m ← (a + b) / 2
Si (f(a)*f(m) ≤ 0) alors
b ← m
sinon
a ← m
Fin
Fin
(b - a) > ε est la condition d'arrêt. Il manque l'affichage final. Si c'est m, la précision est inférieure à(calcule !!)
Si on affiche a (ou b), comme on ne sait pas où se trouve la valeur entre a et b, on ne peut pas affirmer une précision supérieure à
Mais c'est encore une question assez élémentaire, n'importe quel lycéen qui réfléchit le comprend seul. Avec un petit dessin si nécessaire.
Oui c'est bien m à la fin donc le dernier centre de l'intervalle calculer.
Mais quelle est la formule pour calculer la précision et montrer qu'elle est inférieur à |b-a| ?
tu as m, a et b. C'est quoi la précision?
Je ne sais pas comment calculer une précision.
la précision est un epsilon tel que |m-x0|<= epsilon avec x0 la valeur exacte et m la valeur donnée par l'algorithme.
Merci !
Il faut que
A la fin de l'algorithme on a :
On a donc
En fait, on peut dire mieux (fais un dessin).
NB : Pourquoi poser ta question ainsi si tu ne sais même pas ce qu'est la précision ? Et sans même être allé voir ce que c'est (dictionnaire, internet), ce qui est quand même assez fainéant !!!
Non à la fin de l'algorithme on a pas m = a, on pourrait très bien avoir m=b, ########
m (qui peut valoir ou a ou b à la fin de l'algorithme) et x0 appartiennent à [a, b] comme epsilon < |b-a| donc forcément |m-x0|< |b-a|
Dernière modification par mh34 ; 27/08/2019 à 18h11. Motif: modification à la demande du posteur
En fait si, à la fin, on a a et b, et m est l'un des deux. C'est dû à la condition d'arrêt (on ne refait pas la boucle si). Et donc je retire ce que j'ai dit, on ne peut pas faire mieux. Avec une autre boucle, on gagne un facteur 2 sans peine.
ok, je me creusais la tête pour rien.Envoyé par gg0
En fait si, à la fin, on a a et b, et m est l'un des deux. C'est dû à la condition d'arrêt (on ne refait pas la boucle si
Fait un dessin en exemple, et applique l'algorithme c'est comme cela que tu vas le comprendre.
C'est simple en fait. Oui j'ai fait plein de dessin pour comprendre la démonstration du TVI celle de mon livre utilise la méthode de dichotomie.
Dans mon livre l'algorithme est légèrement différent car il fonctionne que pour f(a)=< 0 et f(b) >= 0 et à la fin de l'algo on a toujours b=m. L'algorithme affiche a.
Je ne vois pas pourquoi se contraindre avec f(a)=< 0 et f(b) >= 0 alors que c'est plus facile d'écrire un algorithme pour f(a) f(b) < 0 seulement.
Sinon si tu lis un algorithme comme tu l'as montré dans ton précédent message je doute qu'à la fin on ait toujours b=m, ca ne dépend pas du fait que f(a)=< 0 et f(b) >= 0 (ce qui montre que tu n'as peut-être pas bien compris l'algorithme). Et afficher a ou b ne change rien car de toute facon |a-b|<epsilon.
Sans voir l'algorithme du livre difficile de t'aider plus.
Pourquoi à la fin on affiche a et pas b ? Les 2 marchent non ?
??
As tu lu ma réponse :
tu peux afficher a, b, ou m.
Ok Merci Merlin je me disais bien. m serait forcément égal à a ou b donc il suffit d'afficher a ou b.
L'algorithme de mon livre a l'avantage d'être très simple.
Pas si simple car tu peux très bien finir avec b = c donc tu n'as pas tout à fait compris l'algorithme (l'algorithmique est une branche des mathématiques).
Sinon j'ai voulu dire tu peux afficher a, b ou (a+b)/2 ou tout réel dans l'intervalle [a, b].
C'est quoi le problème de finir avec b=c ?
Je l'ai testé en traçant la fonction f(x)=x^2-1 à main levé.
imagine un cas où le 0 est très proche de b à une distance < epsilon.
En maths quand on avance quelque chose ca ne suffit pas de dire que c'est vrai pour 99,99% des cas.
Je ne vois toujours pas où est le souci de finir avec b=c.
pour lever l'ambiguité, l'algorithme est bon il n'y a pas de problème.
Mais ok je n'ai peut-être pas compris, quand tu dis :
que veux tu dire ? qu'à l'exécution de l'algorithme, on termine toujours par b = m ou que la dernière affection dans l'ordre de lecture de l'algorithme est b=m ?
J'avais fait une erreur je crois que je me suis mélangé entre l'algorithme que j'ai pris sur internet et celui de mon livre.
