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Dichotomie



  1. #1
    gaby44

    Dichotomie


    ------

    Bonjour,
    Voici l'exercice:

    Le procédé de dichotomie permet d’une part de déterminer une valeur x0 voisine de c,c étant le nombre a déterminer. On choisit alors le point x0=(a+b)/2 milieu de l'intervalle [a,b].


    1. Démontrez que |x0 − c|<= |b-a| /2

    =>Je pense avoir réussi cette question

    2. Démontrez que, plus généralement, à l’étape n où n ∈ N, |xn − c|<=|b − a|/2^(n+1)

    =>Pour la 2eme question par contre je sais pas si mon raisonnement est juste.

    En fait,en faisant la meme méthode que la question 1, j'ai réussi à montrer que
    |x1 − c|<= |b-a| /4
    |x2 − c|<= |b-a| /8
    |x3 − c|<= |b-a| /16
    ...
    Je voulais alors savoir si on peut en déduire que pour tout n,on a
    |xn − c|<= |b-a| /2^(n+1) ?

    Merci =)

    -----

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  3. #2
    ericcc

    Re : Dichotomie

    Si on veut être rigoureux, il faut l'écrire sous forme d'une récurrence (qui est d'ailleurs immédiate).

  4. #3
    gaby44

    Re : Dichotomie

    Justement j'y arrive pas tout à fait par récurrence

    Il faut prouver que |x(n+1) − c|<= |b-a| /2^(n+2) à partir de |xn − c|<= |b-a| /2^(n+1) ,c'est ça?

    Mais là je bloque...

  5. #4
    ericcc

    Re : Dichotomie

    Comment as tu fait la question 1 ?

  6. #5
    gaby44

    Re : Dichotomie

    On sais que la distance x0c est inférieur à x0a (car c est compris entre a et b),donc on peut le traduire en termes mathématiques par:
    |x0-c|<=|x0-a|

    or x0=(a+b)/2 donc |x0-a|=|(a+b)/2 - a| =|(b-a)/2| =|(b-a)|/2

    On a donc:

    |x0-c|<=|(b-a)| /2

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    ericcc

    Re : Dichotomie

    Tu fais exacetement le même raisonnement avec Xn, et an et bn les suites qui représentent les extrémités de ton segment

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  10. #7
    gaby44

    Question Re : Dichotomie

    Si on reprends la réponse à la question 1,et qu'on le modifie,cela pourrait donner quelque chose comme:

    On sais que la distance x(n)c est inférieur à x(n)a(n) (car c est compris entre a(n) et b(n)),donc on peut le traduire en termes mathématiques par:
    |x(n)-c|<=|x(n)-a(n)|

    Sauf que là,on n'a pas l'expression de xn.
    Peut-être xn=(an+bn)/2 (mais il faut le prouver ) et on aurait donc
    |x(n)-a(n)|= |(an+bn)/2-a(n)|=|b(n)-a(n)|/2

    et alors:
    |x(n)-c|<=|b(n)-a(n)|/2

    Ce qui est différent de ce qui est proposé dans l'énoncé...

  11. #8
    ericcc

    Re : Dichotomie

    sauf si tu utilises l'hypothèse de récurrence qui te dit précisément que |an-bn| est lui même inférieur à ?

  12. #9
    gaby44

    Re : Dichotomie

    Avec l'hypothese de recurrence,ceci donnerait: |an-bn|<=|b-a|/2(n+1) ?


    et donc |xn-c|<=|b-a|/2(n+2) ?

  13. #10
    ericcc

    Re : Dichotomie

    Je pense que tu te trompes dans les indices : pour n=0 tu as a0=a et b0=b donc c'est 2^n...

  14. #11
    math56

    Re : Dichotomie

    Bonjour,
    j'ai exactement le même DM et nous sommes plusieurs à bloquer.
    par recurrence j'obtient :
    |xn-c|/2<= |b-a|/2n+2

    mais de la je n'arrive pas à trouver |xn+1 -c|<= |b-a|/2n+2

    est-ce que je suis bien parti?

  15. #12
    math56

    Re : Dichotomie

    J'ai une autre question, je me suis penché sur votre methode avec an et bn
    peut-on dire que |bn-an|/2=|b-a|/2n+1?
    car avec reccurence on an |xn-c|<=|bn-an|/2
    donc avec |bn-an|/2=|b-a|/2n+1
    |xn-c|<=|b-a|/2n+1

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  17. #13
    Kkoin

    Re : Dichotomie

    Citation Envoyé par math56 Voir le message
    Bonjour,
    j'ai exactement le même DM et nous sommes plusieurs à bloquer.
    par recurrence j'obtient :
    |xn-c|/2<= |b-a|/2n+2

    mais de la je n'arrive pas à trouver |xn+1 -c|<= |b-a|/2n+2

    est-ce que je suis bien parti?
    Si j'ai bien lu l'énnoncé : math56 vous avez trouvé la solution avec votre récurrence.
    En effet :
    |xn-c|/2<= |b-a|/2n+2 <=> |xn-c| <= |b-a|/2n+1

    Pourquoi chercher compliqué ?

    Pour votre deuxième question, je ne vois rien qui puisse empêcher la division dans une inégalité ... à priori c'est bon !

  18. #14
    ericcc

    Re : Dichotomie

    Citation Envoyé par math56 Voir le message
    Bonjour,
    j'ai exactement le même DM et nous sommes plusieurs à bloquer.
    par recurrence j'obtient :
    |xn-c|/2<= |b-a|/2n+2
    Cette formule est fausse : pour n=0 ce n'est pas le cas, ni pour n=1, 2 ou 3, comme tu l'as dit dans ton premier message

  19. #15
    math56

    Re : Dichotomie

    oki donc le deuxieme methode avec an et bn est la bonne si je comprends bien?

  20. #16
    ericcc

    Re : Dichotomie

    comment définis tu an et bn ?

  21. #17
    math56

    Re : Dichotomie

    soit an et bn les extremites du segment à l'etape n
    on a démontré que |x0-c|<=|b0-a0|/2

  22. #18
    ericcc

    Re : Dichotomie

    Oui mais comment définis tu les extrémités du segment à l'étape n, en fonction de celles à l'étape n-1 ?

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  24. #19
    math56

    Re : Dichotomie

    il y a deux possibilités:
    on par de n on veut arriver a n+1
    on a xn = (an+bn)/2
    -soit xn<=c<=bn
    alors an+1=xn et bn+1=bn
    soit an<=c<=xn
    -alors an+1=an et bn+1=xn

  25. #20
    ericcc

    Re : Dichotomie

    Donc dans les deux cas |an+1-bn+1|=|an-bn|/2
    comme |a0-b0|=|a-b| on en déduit etc...

  26. #21
    math56

    Re : Dichotomie

    c'est ce que j'ai fait en effet

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