Dichotomie

[inviteb0ca76e7]

Bonjour,
Voici l'exercice:

Le procédé de dichotomie permet d’une part de déterminer une valeur x0 voisine de c,c étant le nombre a déterminer. On choisit alors le point x0=(a+b)/2 milieu de l'intervalle [a,b].


1. Démontrez que |x0 − c|<= |b-a| /2

=>Je pense avoir réussi cette question

2. Démontrez que, plus généralement, à l’étape n où n ∈ N, |xn − c|<=|b − a|/2^(n+1)

=>Pour la 2eme question par contre je sais pas si mon raisonnement est juste.

En fait,en faisant la meme méthode que la question 1, j'ai réussi à montrer que
|x1 − c|<= |b-a| /4
|x2 − c|<= |b-a| /8
|x3 − c|<= |b-a| /16
...
Je voulais alors savoir si on peut en déduire que pour tout n,on a
|xn − c|<= |b-a| /2^(n+1) ?

Merci =)
-----

[inviteaf1870ed]

Si on veut être rigoureux, il faut l'écrire sous forme d'une récurrence (qui est d'ailleurs immédiate).

[inviteb0ca76e7]

Justement j'y arrive pas tout à fait par récurrence

Il faut prouver que |x(n+1) − c|<= |b-a| /2^(n+2) à partir de |xn − c|<= |b-a| /2^(n+1) ,c'est ça?

Mais là je bloque...

[inviteaf1870ed]

Comment as tu fait la question 1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb0ca76e7]

On sais que la distance x0c est inférieur à x0a (car c est compris entre a et b),donc on peut le traduire en termes mathématiques par:
|x0-c|<=|x0-a|

or x0=(a+b)/2 donc |x0-a|=|(a+b)/2 - a| =|(b-a)/2| =|(b-a)|/2

On a donc:

|x0-c|<=|(b-a)| /2

[inviteaf1870ed]

Tu fais exacetement le même raisonnement avec Xn, et an et bn les suites qui représentent les extrémités de ton segment

[inviteb0ca76e7]

Si on reprends la réponse à la question 1,et qu'on le modifie,cela pourrait donner quelque chose comme:

On sais que la distance x(n)c est inférieur à x(n)a(n) (car c est compris entre a(n) et b(n)),donc on peut le traduire en termes mathématiques par:
|x(n)-c|<=|x(n)-a(n)|

Sauf que là,on n'a pas l'expression de xn.
Peut-être xn=(an+bn)/2 (mais il faut le prouver ) et on aurait donc
|x(n)-a(n)|= |(an+bn)/2-a(n)|=|b(n)-a(n)|/2

et alors:
|x(n)-c|<=|b(n)-a(n)|/2

Ce qui est différent de ce qui est proposé dans l'énoncé...

[inviteaf1870ed]

sauf si tu utilises l'hypothèse de récurrence qui te dit précisément que |an-bn| est lui même inférieur à ?

[inviteb0ca76e7]

Avec l'hypothese de recurrence,ceci donnerait: |a_n-b_n|<=|b-a|/2⁽ⁿ⁺¹⁾ ?


et donc |x_n-c|<=|b-a|/2⁽ⁿ⁺²⁾ ?

[inviteaf1870ed]

Je pense que tu te trompes dans les indices : pour n=0 tu as a0=a et b0=b donc c'est 2^n...

[invite7ef841f6]

Bonjour,
j'ai exactement le même DM et nous sommes plusieurs à bloquer.
par recurrence j'obtient :
|xn-c|/2<= |b-a|/2ⁿ⁺²

mais de la je n'arrive pas à trouver |xn+1 -c|<= |b-a|/2ⁿ⁺²

est-ce que je suis bien parti?

[invite7ef841f6]

J'ai une autre question, je me suis penché sur votre methode avec an et bn
peut-on dire que |bn-an|/2=|b-a|/2ⁿ⁺¹?
car avec reccurence on an |xn-c|<=|bn-an|/2
donc avec |bn-an|/2=|b-a|/2ⁿ⁺¹
|xn-c|<=|b-a|/2ⁿ⁺¹

[invitefcd2a80d]

Bonjour,
j'ai exactement le même DM et nous sommes plusieurs à bloquer.
par recurrence j'obtient :
|xn-c|/2<= |b-a|/2ⁿ⁺²

mais de la je n'arrive pas à trouver |xn+1 -c|<= |b-a|/2ⁿ⁺²

est-ce que je suis bien parti?

Si j'ai bien lu l'énnoncé : math56 vous avez trouvé la solution avec votre récurrence.
En effet :
|x_n-c|/2<= |b-a|/2ⁿ⁺² <=> |x_n-c| <= |b-a|/2ⁿ⁺¹

Pourquoi chercher compliqué ?

Pour votre deuxième question, je ne vois rien qui puisse empêcher la division dans une inégalité ... à priori c'est bon !

[inviteaf1870ed]

Bonjour,
j'ai exactement le même DM et nous sommes plusieurs à bloquer.
par recurrence j'obtient :
|xn-c|/2<= |b-a|/2ⁿ⁺²

Cette formule est fausse : pour n=0 ce n'est pas le cas, ni pour n=1, 2 ou 3, comme tu l'as dit dans ton premier message

[invite7ef841f6]

oki donc le deuxieme methode avec an et bn est la bonne si je comprends bien?

[inviteaf1870ed]

comment définis tu an et bn ?

[invite7ef841f6]

soit an et bn les extremites du segment à l'etape n
on a démontré que |x0-c|<=|b0-a0|/2

[inviteaf1870ed]

Oui mais comment définis tu les extrémités du segment à l'étape n, en fonction de celles à l'étape n-1 ?

[invite7ef841f6]

il y a deux possibilités:
on par de n on veut arriver a n+1
on a xn = (an+bn)/2
-soit xn<=c<=bn
alors an+1=xn et bn+1=bn
soit an<=c<=xn
-alors an+1=an et bn+1=xn

[inviteaf1870ed]

Donc dans les deux cas |an+1-bn+1|=|an-bn|/2
comme |a0-b0|=|a-b| on en déduit etc...

[invite7ef841f6]

c'est ce que j'ai fait en effet