Méthode de Newton et dichotomie

[invite3c33d024]

Bonjour,

pouvez vous m'aider a réaliser l'exercice suivant:
Calculer "la racine carré de" 3 (à 0.01 près) avec la méthode de Newton.

Je ne comprends pas comment m'y prendre...

Merci!
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[invite4ef352d8]

Salut !

tu veux chercher un zéros de f(x)=x^2-3, tu va donc utiliser la suite définit par :

Un+1 = Un - f(Un)/f'(Un)

soit Un+1 = (Un+3/Un)/2

partons de Uo=3/2 par exemple,

U1=(3/2+2)/2 =7/4
U2=97/56

et en fait on est déja a 0.01 près ! (en fait, avec 7/4 on y est déja presque...)

en effet (97/56)^2 = 9409/3136 = 3 + 1/(3136)

le pb de la methode de Newton c'est qu'elle ne donne de majoration explicite du terme d'erreur, il est donc délicat de savoir quand on à attentin la précision souhaité...

[invite3c33d024]

Merci pour vos réponses, pouvez vous me dire s'il y a une méthode ou une formule pour trouver le premier (x_0)? Ou faut-il le choisir "au hasard" (mais proche du résultat attendu...)?

Dans ce cas ci, x_0=1,5 et x_0=2 sont valables?

Merci d'avance.

[invite4ef352d8]

Il faut choisir X0 le plus proche possible du résultat.

en fait le seul résultat qu'on peut prouver de facon général sur la methode de newton, c'est que "pour X0 suffisement proche de s, alors xn->s quadratiquement"
(ou s désigne un zéros simple de l'équation)


mais ici il se trouve que n'importe qu'elle X0 convient (enfin... n'importe qu'elle x0 non nul, et si tu prend un x0 <0 ca va tendre vers -sqrt(3)... )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c33d024]

Ok, donc si j'ai bien compris, pour calculer la racine de 2 par la méthode de newton:

1/Je prends la fonction f(x)=x²-2
2/Je choisis comme x(0)=3/2 vu que le résultat : 1,42... est proche de 3/2.

Pouvez vous me confirmer que c'est juste?

Encore merci!