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Détermination du multiplicateur de Lagrange



  1. #1
    neurone en panne

    Détermination du multiplicateur de Lagrange


    ------

    Bonjour,
    J'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour me débloquer au milieu d'une recherche d'extrema liés :
    Ma fonction est : f(x,y) = x^3 + y²
    Ma contrainte est S = {(x,y) | u(x,y)= x+y-2 =0}

    Je sais que a n'est un extrema de f relatif à S que s'il existe une constante K telle que la différentielle de F(x,y) = f(x,y) - K.u(x,y) en a soit nulle.
    Soit : df/dx (a) = K. du/dx (a)
    df/dy (a) = K. du/dy (a)

    Donc, j'ai calculé les dérivées partielles de f et u pr trouver une K qui va bien :
    df/dx (x,y) = 3x² df/dy (x,y) = 2y
    du/dx (x,y) = 1 du/dy (x,y) = 1

    ça me donne donc :
    3x² = K soit : x = +(K/3)^1/2 ou x = -(K/3)^1/2
    2y = K y = K/2 y = K/2

    ...et là je sais plus quoi faire !
    Comment je détermine la valeur de K ?
    Est-ce que cela signifie qu'il existe une infinité de points critiques (puisque 1 couple possible pour chaque valeur de K, K>0) ?
    Comment je détermine quels sont les points qui sont véritablement des extrema de f sur S ??

    Merci de votre aide, j'ai tourné mes problèmes dans tous les sens, et non, définitivement, je ne trouve pas !!

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : Détermination du multiplicateur de Langrange

    Citation Envoyé par neurone en panne Voir le message
    J'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour me débloquer au milieu d'une recherche d'extrema liés :
    Ma fonction est : f(x,y) = x^3 + y2
    Ma contrainte est S = {(x,y) | u(x,y)= x+y-2 =0}

    Je sais que a n'est un extrema de f relatif à S que s'il existe une constante K telle que la différentielle de F(x,y) = f(x,y) - K.u(x,y) en a soit nulle.


    ça me donne donc :
    3x2 = K soit : x = +(K/3)^1/2 ou x = -(K/3)^1/2
    2y = K y = K/2 y = K/2

    ...et là je sais plus quoi faire !

    Comment je détermine quels sont les points qui sont véritablement des extrema de f sur S ??
    Il suffit d'écrire que les points trouvés satisfont la contrainte : cela fournit une équation en K qui permet de calculer les valeurs possibles.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    neurone en panne

    Re : Détermination du multiplicateur de Langrange

    Merciiiii !
    Effectivement, j'avais pas pensé à réutiliser la contrainte.
    Finalement, je trouve donc 2 points critiques, dont 1 seul est un extremum (minimum) avec:
    x = (-1 -(13^1/2)) / 3 et
    y = (7 +(13^1/2)) / 3
    (K = (14 + 2(13^1/2)) / 3

  5. #4
    God's Breath

    Re : Détermination du multiplicateur de Langrange

    Citation Envoyé par neurone en panne Voir le message
    Finalement, je trouve donc 2 points critiques, dont 1 seul est un extremum (minimum)
    Il me semble que les deux points critiques fournissent un maximum et un minimum (locaux et non globaux).
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    neurone en panne

    Re : Détermination du multiplicateur de Lagrange

    En fait je me suis trompée dans le post précédent, mais je trouve bien qu'un seul extremum : je trouve bien 2 points critiques
    A : x = (-1 +(13^1/2)) / 3 et
    y = (7 -(13^1/2)) / 3

    B : x = (-1 -(13^1/2)) / 3 et
    y = (7 +(13^1/2)) / 3

    Je calcule les dérivées partielles secondes de F:
    r = d²F/dx² = 6x
    t = d²F/dy² = 2
    s = d²F/dxdy = 0

    Donc pour A
    s² - rt = -12 [(-1 +(13^1/2)) / 3] = 4 (1 - (13^1/2)) < 0
    Avec r > 0 : A est minimum.

    et pour B :
    s² - rt = -12 [(-1 -(13^1/2)) / 3] = 4 (1 + (13^1/2)) > 0
    Donc j'en conclus que ce point n'est pas un extremum...(au contraire du post précédent...)


  8. #6
    God's Breath

    Re : Détermination du multiplicateur de Lagrange

    La règle su te donne un résultat sur le comportement de sur , mais pas un résultat sous la contrainte.
    En un point critique, il te faut étudier la restriction de la différentielle seconde au noyau de la différentielle .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  10. #7
    neurone en panne

    Re : Détermination du multiplicateur de Lagrange

    alors là, je suis perdue...jamais on n'a parlé de ça en cours...

  11. #8
    God's Breath

    Re : Détermination du multiplicateur de Lagrange

    Citation Envoyé par neurone en panne Voir le message
    alors là, je suis perdue...jamais on n'a parlé de ça en cours...
    Je ne sais pas les théorèmes que l'on a démontré dans ton cours, mais la règle du ne vaut que pour l'étude des extrema sur , parce qu'elle ne tient pas compte de la contrainte.

    Si je fais une étude sans multiplicateur de Lagrange, ce qui est possible ici parce que la contrainte est suffisamment simple.

    On veut étudier sous la contrainte , soit .
    Ceci revient donc à étudier .
    Si tu étudies les variations de , tu vas retrouver tes points critiques, et constater qu'ils correspondent à un maximum local et un minimum local.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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