Maximun d'une fonction à deux variables
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Maximun d'une fonction à deux variables



  1. #1
    EspritTordu

    Maximun d'une fonction à deux variables


    ------

    Bonjour,

    Je cherche le maximum de l'équation à deux variables suivante :

    (0)

    Je ne cherche pas seulement les extremums, mais bel et bien le maximum selon ces contraintes : a est réel et positif et 0<d<=a

    Quel est la valeur de d qui maximise le résultat F en fonction de a ?


    J'ai suivi la vidéo https://www.youtube.com/watch?v=ZaDR_aglTpM
    J'ai donc cherché les points où les deux variables n'évoluent plus (ou leur dérivée est nulle) de façon à trouver les points stationnaires
    Soit le système suivant :

    (1) F'd=>
    (2) F'a=>

    Soit le seul point stationnaire c'est (0,0) ?


    Maintenant je dois chercher le sens de croissance des dérivées pour pouvoir trouver mon maximum ?
    C'est là que je commence à hésiter.

    Il faut évaluer les dérivées des dérivées. d'où F'dd et F'aa, déjà je n'aurais pas penser faire aussi F'da=F'ad selon la vidéo.
    Puis l'auteur évalue un «discriminant» dit-il selon un déterminant qui donne :

    |F'dd F'ad|
    |F'da F'aa| d'ou F'dd*F'aa-F'ad^2=Delta

    Et évalue la valeur de delta pour juger s'il s'agit d'un point maximum si delta>0 et x(0,0)>0 si je ne me trompe pas...

    Bon et après s'il vous plaît ?

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    minushabens

    Re : Maximun d'une fonction à deux variables

    puisque d<=a, pour tous a,d on a f(a,d)<=0 mais f(a,a)=0 donc f est maximum si a est quelconque et d=a

  3. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Maximun d'une fonction à deux variables

    Je cherche le maximum de l'équation à deux variables suivante
    NB : Il ne s'agit pas d'une équation, mais d'une fonction.

    Cordialement.

  4. #4
    EspritTordu

    Re : Maximun d'une fonction à deux variables

    Mille excuses, je cherche le maximum en valeur absolue, c'est donc le minimum que je veux trouver et celui-ci est bien fonction de a :

    d 0.01 0.02 0.04 0.08 0.16
    a=0.1 -0.0009 -0.0016 -0.0024 max -0.0016 -
    a=0.2 -0.0019 -0.0036 -0.0064 -0.0096 max -0.0064

    D'après mon premier message, le minimum de la fonction est bien (0,0).
    Si je cherche le minimum pour un a donné et fixe, il suffit de dériver la fonction initiale suivant d, ce qui donne la fonction (1) et mon minimum (maximum en valeur absolue) vaut donc d=a/2 ! J'ai donc trouvé mon résultat !

    En revenant à mon premier message, reste que je ne comprends pas pourquoi il faut calculer un déterminant pour évaluer la croissance d'une fonction au point stationnaire lorsqu'on a deux variables...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    minushabens

    Re : Maximun d'une fonction à deux variables

    Si je comprends bien, tu cherches maintenant le minimum de dd-ad, en a et d, sous la contrainte 0<d<=a. Cette fonction n'est pas bornée, tu peux le voir facilement en prenant d=1 et a aussi grand que tu veux. Donc ton problème n'a pas de solution.

  7. #6
    Resartus

    Re : Maximun d'une fonction à deux variables

    Citation Envoyé par EspritTordu Voir le message
    :
    En revenant à mon premier message, reste que je ne comprends pas pourquoi il faut calculer un déterminant pour évaluer la croissance d'une fonction au point stationnaire lorsqu'on a deux variables...
    Le fait que les dérivées premières soient nulles indique simplement qu'on a un extrémum.
    La matrice des dérivées secondes (qu'on appelle matrice de Hesse) permet alors de savoir si c'est un minimum, un maximum ou un point selle et de trouver les directions principales (c'est à dire celles où les courbures sont extrémales)
    Voir ceci
    http://serge.mehl.free.fr/anx/extremum_hesse.html

    Dans votre exemple, ce sont des points selles que vous devez trouver (ni max ni min)
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  8. #7
    EspritTordu

    Re : Maximun d'une fonction à deux variables

    Merci à tous. Je crois mettre emmêlé dans le maximum et minimum. Le maximum est bien (0,0), et il n'y a pas de minimum puisque la fonction est aussi infinie que a. Puisque que a est donné infini, retrouver mon «maximum en valeur absolue» revient donc au minimum de l'équation initiale où a est choisi et fixé et cela revient donc à la recherche d'un extremum d'une fonction à une seule inconnue d, ce qui donne le résultat donné précédemment.

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