Maximun d'une fonction à deux variables

[EspritTordu]

Bonjour,

Je cherche le maximum de l'équation à deux variables suivante :

(0)

Je ne cherche pas seulement les extremums, mais bel et bien le maximum selon ces contraintes : a est réel et positif et 0<d<=a

Quel est la valeur de d qui maximise le résultat F en fonction de a ?


J'ai suivi la vidéo https://www.youtube.com/watch?v=ZaDR_aglTpM
J'ai donc cherché les points où les deux variables n'évoluent plus (ou leur dérivée est nulle) de façon à trouver les points stationnaires
Soit le système suivant :

(1) F'd=>
(2) F'a=>

Soit le seul point stationnaire c'est (0,0) ?


Maintenant je dois chercher le sens de croissance des dérivées pour pouvoir trouver mon maximum ?
C'est là que je commence à hésiter.

Il faut évaluer les dérivées des dérivées. d'où F'dd et F'aa, déjà je n'aurais pas penser faire aussi F'da=F'ad selon la vidéo.
Puis l'auteur évalue un «discriminant» dit-il selon un déterminant qui donne :

|F'dd F'ad|
|F'da F'aa| d'ou F'dd*F'aa-F'ad^2=Delta

Et évalue la valeur de delta pour juger s'il s'agit d'un point maximum si delta>0 et x(0,0)>0 si je ne me trompe pas...

Bon et après s'il vous plaît ?

Merci d'avance.
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[invite9dc7b526]

puisque d<=a, pour tous a,d on a f(a,d)<=0 mais f(a,a)=0 donc f est maximum si a est quelconque et d=a

[gg0]

Je cherche le maximum de l'équation à deux variables suivante

NB : Il ne s'agit pas d'une équation, mais d'une fonction.

Cordialement.

[EspritTordu]

Mille excuses, je cherche le maximum en valeur absolue, c'est donc le minimum que je veux trouver et celui-ci est bien fonction de a :

d	0.01	0.02	0.04	0.08	0.16
a=0.1	-0.0009	-0.0016	-0.0024 max	-0.0016	-
a=0.2	-0.0019	-0.0036	-0.0064	-0.0096 max	-0.0064

D'après mon premier message, le minimum de la fonction est bien (0,0).
Si je cherche le minimum pour un a donné et fixe, il suffit de dériver la fonction initiale suivant d, ce qui donne la fonction (1) et mon minimum (maximum en valeur absolue) vaut donc d=a/2 ! J'ai donc trouvé mon résultat !

En revenant à mon premier message, reste que je ne comprends pas pourquoi il faut calculer un déterminant pour évaluer la croissance d'une fonction au point stationnaire lorsqu'on a deux variables...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

Si je comprends bien, tu cherches maintenant le minimum de dd-ad, en a et d, sous la contrainte 0<d<=a. Cette fonction n'est pas bornée, tu peux le voir facilement en prenant d=1 et a aussi grand que tu veux. Donc ton problème n'a pas de solution.

[Resartus]

:
En revenant à mon premier message, reste que je ne comprends pas pourquoi il faut calculer un déterminant pour évaluer la croissance d'une fonction au point stationnaire lorsqu'on a deux variables...

Le fait que les dérivées premières soient nulles indique simplement qu'on a un extrémum.
La matrice des dérivées secondes (qu'on appelle matrice de Hesse) permet alors de savoir si c'est un minimum, un maximum ou un point selle et de trouver les directions principales (c'est à dire celles où les courbures sont extrémales)
Voir ceci
http://serge.mehl.free.fr/anx/extremum_hesse.html

Dans votre exemple, ce sont des points selles que vous devez trouver (ni max ni min)

[EspritTordu]

Merci à tous. Je crois mettre emmêlé dans le maximum et minimum. Le maximum est bien (0,0), et il n'y a pas de minimum puisque la fonction est aussi infinie que a. Puisque que a est donné infini, retrouver mon «maximum en valeur absolue» revient donc au minimum de l'équation initiale où a est choisi et fixé et cela revient donc à la recherche d'un extremum d'une fonction à une seule inconnue d, ce qui donne le résultat donné précédemment.