Fonction à deux variables

[invite204ee98d]

Bonjour,

j'ai besoin d'explications concernant un exercice, merci de m'en donner:

On a comme fonctions:

(xy)/(x²+y²) et on doit montrer si la fonction admet une limite en (0;0), dans la correction pour trouver la réponse on calcule la limite pour d'abord g(x;0) et ensuite g(x;x) et bien sur on trouve des limites différentes, cependant je ne comprends pas comment on sait quels couples prendre déterminer cette limite en zéro car dans un autre exemple on a pour fonction

(xy²)/(x²+y²) et la cette fois-ci on prend pour couples dans la correction f (x;0) et f(0;y), merci de m'expliquer ce que l'on doit prendre pour couples.

Au revoir.
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, je dois te dire qu'il n'y a malheureusement pas de technique générale, du moins je pense, c'est plutôt à l'instinct, on voit bien dans ton premier exemple que si x ou y est nul dans un voisinage de 0, (pas les deux) notre fonction admettra 0 comme limite, mais si les deux sont non nuls au voisinage de 0, il y a peu de chance que ca s'anulle , donc avec de simple considérations comme ceci, on peut généralement montrer la non continuité de ton application...

[phys4]

Bonjour,
Je trouve qu'un méthode plus élégante pour prouver que la limite existe et de démontrer qu'elle ne dépend pas du rapport x/y

Pour cela , je poserai x = a.v et y = b.v, v étant une variable commune.

La fonction g(v) devient g(v) = a.b/(a² + b²)

cette expression dépend de a et b, donc la limite n'existe pas.

Si vous faites cette opération pour la seconde fonction, vous verrez que la limite ne dépend plus de a et b.

Au revoir.

[invite204ee98d]

Bonjour,


Cependant d'après ce que vous dites je rencontre un petit souci, car par exemple si l'on reprend la première fonction soit (xy)/(x²+y²) et que l'on calcule avec les couples suivants c'est a dire pour (x;0) et (0;y) pour trouver si la fonction admet une limite en 0 on aura avec le premier couple 0 et ensuite 0 donc à priori elle admet une limite cependant avec les couples que j'avais vu dans la correction soient: (x;0) et (x;x) on a pour le premier couple 0 et le second 0.5 donc la elle n'admet pas de limite.


Merci de m'expliquer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Dans votre exemple, vous prenez deux particuliers: x tend vers zéro ou y tend vers zéro, le cas le plus général est tel que x et y tendent vers zéro simultanément, mais avec un rapport qui peut être quelconque.
Revoyez le début de mon message précédent :
La fonction g(v) devient g(v) = a.b/(a2 + b2)

Si a = 0 ou b = 0 nous obtenons 0 comme limite, seulement pour a et b quelconques ce n'est pas le cas.

[invite204ee98d]

J'ai compris votre méthode, seulement je ne comprends toujours pas pourquoi ça ne donne pas le même résultat avec les couples différents, ça veut dire que dans ce cas l'on a pas le droit de prendre ceux-là ?

[phys4]

La limite pour une fonction de deux variables n'existe au sens mathématique que si elle est unique : elle ne doit pas dépendre de la méthode utilisée pour faire tendre x ou y vers zéro.
Si la limite est commune quel que soit le rapport entre x et y, alors seulement nous pouvons dire que la limite existe.

D'un point de vue plus intuitif, vous vous imaginez la surface z = g(x,y) en 3D, sur un cercle autour du point zéro cette surface dessine une sinusoïde dont l'amplitude ne diminue pas lorsque le cercle se rétrécit. La surface n'est donc pas continue en zéro, où il existe une sorte de déchirure de la surface.

[NicoEnac]

Bonjour,

Personnellement, lorsque je vois apparaitre x²+y² dans une fonction à 2 variables, les coordonnées polaires font tilt dans mon esprit.
D'autant plus que pour déterminer la limite recherchée, il suffit de faire tendre r vers 0 (on passe d'une limite double à une limite simple) et vérifier que la limite obtenue ne varie pas en fonction de theta.
Autrement dit : quelle que soit la direction "par laquelle on s'approche de (0,0)", la limite obtenue est la même => on peut prolonger la fonction par continuité.
En transformant f(x,y) en f(r,theta) (par la transformation x = r.cos(theta) et y = r.sin(theta)), on s'aperçoit que f est indépendant de r.
Ce qui permet de conclure.

[invite57a1e779]

La limite pour une fonction de deux variables n'existe au sens mathématique que si elle est unique : elle ne doit pas dépendre de la méthode utilisée pour faire tendre x ou y vers zéro.
Si la limite est commune quel que soit le rapport entre x et y, alors seulement nous pouvons dire que la limite existe.

Je suis vraiment très mal à l'aise face à la dernière affirmation.

Si on considère la fonction définie par pour , on est conduit, en posant et , à :
.

Lorsque tend vers 0, est de limite nulle, pour tout couple , mais la fonction n'admet pas de limite pour autant

[phys4]

Je suis vraiment très mal à l'aise face à la dernière affirmation.

Si on considère la fonction définie par pour , on est conduit, en posant et , à :
.

Lorsque tend vers 0, est de limite nulle, pour tout couple , mais la fonction n'admet pas de limite pour autant

Je constate que si l'on tend vers zéro en suivant la courbe y² = x, on obtient encore une limite 1/2, donc le procédé ne suffit pas.

la condition présentée est nécessaire mais pas suffisante.