Bonsoir,
J'ai un travail de Maths à faire qui me pose problème.
Je dois montrer que :
1..
Puis :
Pour x réel, on pose :
2. a) Justifier que la fonction phi est définie sur R.
b) Soient x un réel fixé quelconque et h un réel fixé tel que :
Montrer, à l'aide du résultat de la question 1, que :
Mes pistes :
1. J'ai pensé à une étude de fonctions, mais est-ce la bonne méthode ?
2. a. C'est un argument sur la continuité ?
Merci par avance pour l'aide et bon dimanche.
1. Oui une étude de fonctions est suffisante, quitte à dériver 2 fois.
Mais le plus simple est d'abord de démontrer e^(u) -1 - u <= u²/2 (sans le 'e' au membre de droite donc)
2. a. On te demande juste de vérifier que l'intégrale est bien définie, ce n'est pas la continuité de phi qui est concernée ici.
Par contre, pour x fixé, tu intègre une fonction sur un intervalle fini. Alors là oui un argument de continuité est intéressant et rapide ici. A toi de développer.
2. b. Ici par contre l'inégalité qui est demandée va servir à montrer la dérivabilité de phi, et donc sa continuité. Mais tu devais peut-être t'en douter déjà.
Bonjour,
Merci beaucoup pour votre réponse.
Pour la question 1, peut-on s'en sortir avec un développement limité de Taylor ?
Certains de mes camarades auraient fait de cette manière là, mais moi je ne vois pas comment...
Merci par avance pour votre explication.
oups, je me suis trompé : on ne peut pas enlever le 'e' au membre de droite. Autant pour moi.
Sinon, oui on peut utiliser un développement de taylor-lagrange à l'ordre 1 de la fonction exponentielle, en tout cas pour montrer l'inégalité de droite.
Je n'ose pas te le donner pour ne pas me faire modérer.
Pour celle de gauche c'est très facile.
Merci beaucoup, je vais essayer !
J'ai aussi essayé la question 2.b, mais je n'y arrive pas... Apparemment il faudrait utiliser le résultat de la 1, mais dans la 1, on a u compris entre -1 et 1, alors que dans la 2, on parle de phi...
Alors comment faire ?
A l'intérieur des valeurs absolues, tu remplaces phi(x) et phi(x+h) par sa forme intégrale.
tu auras donc 3 intégrales que tu rassembleras en 1 seule.
fais apparaitre dans l'intégrale de phi(x+h) ceci : e^(-h(1+t²)).
OR h est plus petit que 1/2 en valeur absolue, donc tu peux majorer -h(1+t²),
puis appliquer la question 1.
Merci beaucoup, je vais essayer cela !
Ensuite, la question 2.c est :
En déduire que phi est dérivable sur R, avec :
Pour tout x appartenant à R, phi ' (x)= - intégrale entre 0 et 1 de e^(-x(1+t^2)) dt.
J'ai essayé d'utiliser la formule du taux d'accroissement, mais sans succès...
Merci encore pour l'aide.
Rassure toi la question 2 c est la plus facile.
Tu divises l'inégalité de 2.b par h (ou -h si h est négatif), et tu prend la limite, et c'est fini.
OK, je vais résumer toute la question 2 au brouillon, merci beaucoup. Je vous dirai si j'y arrive. Ensuite, voici la suite et la fin du Devoir :
J'ai encore du mal... Avez-vous peut-être des pistes ?
Merci beaucoup.
