bonjour
Je veux montrer ça :
si G est cyclique d'ordre N, et d | N alors G a un unique sous-groupe d'ordre d.
Je sais prouver l'existence d'un tel sous groupe. Comment prouver l’unicité ? , en effet dans le corrigé , ils indiquent que l'unique sous-groupe cyclique d'ordre d contient tous les éléments d'ordre un diviseur de d mais je ne comprends pas cela
Démonstration par l'absurde.
Tu supposes qu'il y a deux sous-groupes d'ordre d différents.
Mais...
chacun d'entre eux contient TOUS les éléments d'ordre "un diviseur de d"...
A toi de conclure.
salut merci pour repondreEnvoyé par pilum2019
oui je vois cela (une inclusion grace au theoreme de lagrange + égalite de cardinal ), mais mon probleme moi c'est pourquoi un sous groupe d'un groupe d'ordre d doit contenir tous les elements dont l'odre divise d , c'est l idée de la demonstration mais jarrive pas à comprendre comment ils ont déduit cela
cordialement
Tout se base sur le fait que G, d'ordre N, est engendré par un seul élément , appelé g.
Si tu prend deux éléments différents a et b d'ordre e, l'un sera forcément de la forme a = g^x et l'autre de la forme b = g^y, avec xe et ye qui sont multiples de N.
Il n'est pas difficile de voir que y est forcément multiple de x (ou l'inverse), car sinon on trouverait une contradiction sur l'ordre de g qui est N.
Ce qui signifie a est engendré par b (ou l'inverse). Donc le sous groupe engendré par l'un contient forcément l'autre.
