Element d'ordre 2 dans un groupe non cyclique

[Koril]

Bonjour, je cherche à trouver les élément d'ordre 2 du groupe multiplicatif Z/299Z pour après résoudre l'équation x^2 = 1.

d’après le théorème chinois, on a un isomorphisme d'anneaux;

(Z/299Z,*) est isomorphe à (Z/13Z,*)x(Z/23Z,*) car pgcd(13,23) = 1
l'ordre d'un élément est préservé par isomorphisme.
On a aussi

(Z/13Z,*) qui est isomorphe à (Z/12Z,+) car 13 est premier
et (Z/23Z,*) qui est isomorphe à (Z/22Z,+) car 23 est premier et on sait qu'il y a au plus φ(299) = φ(23*13) = φ(23)*φ(13) = 22*12 élément dans (Z/299Z,*)

le nombre d'élément d'ordre 2 dans (Z/299Z,*) est égal au nombre d'élément d'ordre 2 dans (Z/12Z,+)x(Z/22Z,+)

soit (a,b) appartenant à (Z/12Z,+)x(Z/22Z,+), on a ord((a,b)) = ppcm(ord(a),ord(b))
donc ord(a) divise 12 et ord(b) divise 22
ppcm(ord(a),ord(b)) divise 264

je n'arrive plus à avancer après ça
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[Amanuensis]

a ord((a,b)) = ppcm(ord(a),ord(b))

si ppcm(ord(a),ord(b)) =2, cela ne laisse pas beaucoup de possibilités pour ord(a) et ord(b), non?

[Koril]

ppcm(ord(a),ord(b)) = 2 car on cherche (a,b) tel que a^2 = 1 modulo 12 et b^2 = 1 modulo 22?

si ppcm(ord(a),ord(b)) = 2 alors (ord(a), ord(b)) appartient à l'ensemble {(1,2), (2,1), (2,2)}

donc on a 3 élément d'ordre 2 et un élément d'ordre 1 dans Z/299Z vérifiant l’équation x^2 = 1.
L’équation admet donc 4 solutions dans Z/299Z.

[Amanuensis]

Pour bien faire, vous pourriez les indiquer, ces solutions...

Par ailleurs, si le groupe est additif, on note a+a = 2a (et si le groupe est multiplicatif on note a . a = a^2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Tiens j'ai oublié (mais ça va avec) que l'élément neutre est noté 0 en additif (et 1 en multiplicatif)...