problème compacité.

[maatty]

Bonjour à tous, j'ai quelques soucis avec un exercice dont je vous donne l'énoncé: On considère une application continue où A et B compacts et C séparé. On suppose de plus de B dans C injective. On considère un élément de C.
1) Montrer que l'ensemble des éléments de A tels que l'équation admette une solution est un fermé de A.
2) Soit une solution de l'équation précédente; montrer que est une application continue sur
3) Reprendre ces questions dans le cas où les espaces sont métriques.

A vrai dire j'ai presque tout fait mais je voudrais être sûr qu'il ne manque rien. Il me manque la question 2 (que j'ai traité dans le cas métrique). J'ai quelques doutes sur ce que j'ai fait, j'ai l'impression de faire la même chose dans le cas métrique pour les questions 1 et 2;

Voilà ce que j'ai fait (je résume):

1 (cas topologique)J'ai pris n'appartenant pas à . Donc pour tout x de B, . Or C séparé donc il existe deux ouverts disjoints contenant respectivement . f continue donc est un ouvert de donc de la forme . J'ai ensuite dit que la réunion des formait un recouvrement d'ouvert de B compact donc on peut extraire un recouvrement fini.
J'ai enfin pris et dit ouvert. Et ouvert également. O et Y disjoints donc on en déduit donc le complémentaire de est ouvert et donc est fermé.
Je voudrais savoir si ce que j'ai fait est rigoureux et s'il ne manque rien. Le cas métrique dans la question 1 je l'ai fait rapidement en 3 lignes.

2 (cas métrique)j'ai montré que est bien définie (pour une valeur de ,il n'y a qu'une solution à l'équation ), grâce à l'injectivité de . J'ai pris une suite convergeant vers et utilisé la continuité de f pour montrer que convergeait vers et donc que continue.

A nouveau, je recours à vos lumières; manque-t-il des choses? Pourriez-vous me donner des indications pour la question 2 dans le cas topologique? Je n'ai quasiment rien fait. J'ai montré que g bien définie (comme dans le cas métrique) et c'est à peu près tout. Je pense qu'il faut utiliser le fait que fermé de A compact donc compact mais je bloque un peu (j'essaie de montrer que l'image réciproque d'un ouvert est ouvert mais je stagne.

Je vous remercie pour l'aide que vous saurez m'apporter (et pour avoir eu la patience de me lire)
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