Bonjour,
Je vois que ]0,1[ n'est pas compacte ( oui parce que le recouvrement ] 1/n, 1-1/n [ nadmet pas de sous recouvrement fini).
Par contre je ne saisis pas lidee de la precompacite. Un espace precompact et complet est compacte. De plus pour tout epsilon, il existe un sous recouvrement fini de E par des boules ouvertes de rayon epsilon.
Auriez vous une preuve pour ]0,1[ pour prouver qu'il est pre compacte ?
Merci
Bonjour,
Pour undonné il est facile de recouvrir ]0, 1[ avec de boules de rayon
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Tu choisis un epsilon et tu montres que ]0,1[ est inclus la réunion d'un nombre fini d'intervalles de longueur epsilon.
d'accord et pourquoi rajouter l'hypothèse de complétude permet d'obtenir la propriété qu'on peut extraire de tout recouvrement un recouvrement fini? où l'hypothèse est-elle utilisée?
La complétude n'est pas une hypothèse supplémentaire. Schwartz par exemple définit un espace précompact comme un espace métrique dont le complété est compact. Cette définition est équivalente à celle sur les recouvrements avec des ouverts de diamètre epsilon.
Tu peux partir de la première définition pour montrer que ]0,1[ est précompact. Il te faut montrer que son complété est [0,1].
excuse moi pourrais tu me donner la définition de complété ? parles tu de l'adhérence?
Il se trouve qu'ici le complété de ]0,1[ est isomorphe à l'adhérence de ]0,1[ dans R mais en général ce sont des concepts différents.
mais donc c'est quoi ? il y a rien à ce sujet sur internet
mais si on trouve sur internet : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_complet
edit: tu mets peut-être la charrue avant les boeufs. La notion d'espace précompact n'est pas vraiment centrale en topologie, alors que la notion de suite de Cauchy et celle d'espace complet sont au contraire très importantes.
Bonjour,Envoyé par sleinininono
Si l'on aborde les choses du point de vue séquentiel :
Espace précompact : toute suite admet une sous-suite qui est de Cauchy.
Espace compact : toute suite admet une sous-suite convergente.
Espace complet : tout suite de Cauchy est convergent.
La complétude est donc ce qui manque à un précompact pour être compact.
ahhhh merci God's Breath c'est très clair!
merci pour vos messages je vais me renseigner
J'avais eu l'impression que la notion de pré-compacité était une notion métrique (la question ne se pose que pour les espaces métrisables), alors que la compacité était de la topologie générale (la question se pose pour tout espace topologique). Non?
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
La pré-compacité est effectivement une notion métrique, et seuls les espaces métriques compacts peuvent être caractérisés comme "pré-compacts et complets".
Dans mon approche, la caractérisation séquentielle des compacts n'est pas valide dans les espaces topologiques généraux ; elle est par contre très pratique dans les espaces métriques.
D'autre part, faire intervenir de la complétude impose de se placer dans des espaces uniformes.
Oui c'est ça. La notion de suite de Cauchy est métrique.
La notion de suite de Cauchy n'est pas métrique, mais uniforme.
Tout espace compact est uniformisable de façon unique et l'espace uniforme ainsi défini est complet.
