Compacité

[Anonyme007]

Bonjour,

Je partage avec vous la découverte d'un phénomène abstrait amusant que j'ai pu repérer cette nuit, et j'aimerais avoir vos avis dessus :
D'après vous, quelle est la transposée de la notion topologique de compacité dans le domaine de la philosophie ?

Rappel mathématique :

Soit un espace topologique.
est compact ( ou quasi - compact ) si pour tout recouvrement ouvert de , on peut en extraire un sous recouvrement fini.

Transposition au domaine de la philosophie :

Soit une notion ou un concept philosophique.
est compact ( ou quasi compact ) si pour tout recouvrement quelconque de de définitions, on peut en extraire un sous recouvrement fini.
Autrement dit, un concept est compact si toute description de ce concept par un nombre quelconque de définitions chacune complétant l'autre, on peut en extraire un nombre fini, les unes complétant les autres, définissant ce concept.

Qu'est ce que vous pensez de ce phénomène décrit par cette définition ?

Autrement dit, pourquoi la plupart des notions philosophiques ne sont pas compact suivant cette définition ? Par exemple la notion de ''Liberté'' en philosophie ? Comment justifierez vous sa non compacité ? ou plutôt comment démontreriez vous qu'elle est non compacte ?

Cordialement.
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[azizovsky]

parce que la notion de liberté apparient au 'topos' des idées imaginaires, on ne peut la présenter concrètement dans le monde réel 'calculatoire'.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Rasoir_d%27Ockham

[Médiat]

Bonjour,

Je ne suis pas certain que l'on puisse aller bien loin dans cette direction, par contre, vous pouvez regarder le théorème de compacité en logique qui, bizarrement est très lié à la compacité topologique (d'où son nom)

[Anonyme007]

Bonjour,

@Azizovsky :
Oui le rasoir d'ocklam fait partie de ce bagage dont la notion de compacité qui fait l'objet de ce fil en fait partie aussi.

@Médiat :
J'ignorais qu'il y'avait une version de cette notion en logique suite à ce que j'ai lu ici tout à l'heure : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...compacit%C3%A9

La notion que tu évoques est la suivante :
Soit un ensemble de formules de la logique propositionnelle. Si tout sous-ensemble fini de est satisfaisable, alors est aussi satisfaisable

Par contraposée : Si est non satisfaisable, alors, il est existe un sous ensemble fini de non satisfaisable.

Oui. C'est jolie à découvrir comme idée aussi.

Je ne saisis pas bien pas pourquoi cette notion s'emploie tout naturellement dans un sens négatif ( i.e : au lieu de ). Regarde la forme de l'énoncé : Si est non satisfaisable, alors, il est existe un sous ensemble fini de non satisfaisable.

C'est comme si ce phénomène de compacité est négligeable au sens de la théorie de la mesure ou de la notion de singularité, ou du théorème de Sard en quelques sortes si on veut caricaturer l'idée. Il y'a pleins d'idées foisonnantes qui accompagnent ce phénomène de compacité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je ne comprends pas la question, j'ai, le plus souvent utiliser ce théorème dans le sens direct, par exemple pour montrer que AP est iso-consistant avec l'existence d'un élément plus grand que tous les entiers, voire avec l'existence d'un élément divisible par tous les entiers.

Il y a un autre théorème intéressant dans ce cadre (FOL) : si une théorie est finiment axiomatisable, de toute axiomatisation, on peut extraire une axiomatisation finie.

[Anonyme007]

Je ne comprends pas la question, j'ai, le plus souvent utiliser ce théorème dans le sens direct, par exemple pour montrer que AP est iso-consistant avec l'existence d'un élément plus grand que tous les entiers, voire avec l'existence d'un élément divisible par tous les entiers.

Il s'agit plutôt d'un sentiment de stupéfaction que je ressens en moi et non d'une question que je me pose, auquel je cherche à partager avec toi.
Souvent lorsqu'on énonce un phénomène generique en mathématiques, ceci est valide non pas partout mais presque ( souvent sur un domaine ouvert partout dense ), et que le phénomène en question présente une singularité dans le complémentaire de cet ouvert, donc n'arrive que très rarement, on dit qu'il est négligeable dans son complémentaire.
C'est comme en théorie de la mesure, une propriété est - presque partout valide si , c'est à dire, que a très peu de chance de se produire. Alors, là, je me dit que le phénomène de compacité logique que tu as soulevé est un phénomène générique, c'est à dire, que a peu de chance de se produire ( Ou bien le contraire ?? A vérifier ) Parce que comme j'ai dit plus haut, cette notion s'emploie tout naturellement dans un sens négatif ( i.e : au lieu de qui est valide ). Bon, c'est juste une simple remarque pour m'aider à saisir les dimensions de cette notion de compacité logique.

Il y a un autre théorème intéressant dans ce cadre (FOL) : si une théorie est finiment axiomatisable, de toute axiomatisation, on peut extraire une axiomatisation finie.

Alors, là, j'avoue tu m'ouvres l’appétit de me pencher davantage sur ce sujet et d'aller à son exploration. Merci.

[Médiat]

Alors, là, j'avoue tu m'ouvres l’appétit de me pencher davantage sur ce sujet et d'aller à son exploration.

Ce théorème est souvent utilisé sous sa forme contraposée pour démontrer qu'une théorie n'est pas finiment axiomatisable (par exemple pour démontrer que le système Q + l'existence d'un élément plus grand que tous les entiers n'est pas finiment axiomatisable)

[Anonyme007]

Merci Médiat. Je me consacrerai à tout ça plutard à tête reposée quant j'y serai prêt :

Autrement dit, pourquoi la plupart des notions philosophiques ne sont pas compact suivant cette définition ? Par exemple la notion de ''Liberté'' en philosophie ? Comment justifierez vous sa non compacité ? ou plutôt comment démontreriez vous qu'elle est non compacte ?

... on ne peut la présenter concrètement dans le monde réel 'calculatoire'.

Oui, ma question est mal posée et relevait du snobisme mathématique pour être franc.

D'ailleurs, lorsqu'on dit : Démontrez une assertion ... ! La première chose à la quelle il faut penser : Démontrer par rapport à quelle théorie ?, puis, on cherche à partir des axiomes de cette théorie, une voix pour aller vers la déduction du résultat, ainsi, la démonstration est établie correctement de cette manière. ( ... Oui, la démonstration est un outil soumis aussi au principe de relativisme. Une démonstration n'est pas une fatalité qui a un caractère absolue. ).
Alors, puisqu'en philosophie à mon avis, il n'y'a pas de théories à proprement parler, alors, je vois mal comment démontrer que la notion de Liberté est non compact, à moins de transformer la philosophie en science. Qu'est ce que vous en pensez ?

[Anonyme007]

D'ailleurs, lorsqu'on dit : Démontrez une assertion ... ! La première chose à la quelle il faut penser : Démontrer par rapport à quelle théorie ?, puis, on cherche à partir des axiomes de cette théorie, une voix pour aller vers la déduction du résultat, ainsi, la démonstration est établie correctement de cette manière. ( ... Oui, la démonstration est un outil soumis aussi au principe de relativisme. Une démonstration n'est pas une fatalité qui a un caractère absolue ).

Pardon, le mot fatalité est mal utilisé dans cette phrase. J'ai mal choisi le terme à utiliser. Certains ne croient meme pas au fatalisme ici j'imagine, mais peu importe.
Oubliez ce passage erroné souligné en gras. Bon, laisse tomber, si on continue ainsi, on est hors sujet.