Compacité

[invite332de63a]

Bonjour,
J'aimerai avoir un éclaircissement sur la compacité d'un espace séparé car dans mon cours deux ou trois petites choses me chagrinent.
On dit que tout intervalle fermé de R est compact car de tout recouvrement ouvert de celui on peut extraire un sous recouvrement fini de ce dit intervalle.

Dans mon cours il est marqué, avec E l'espace topologique séparé, que est un recouvrement de E si la réunion de la famille est égale à E. Donc un recouvrement ouvert de [0,1] serait donc une réunion d'ouverts telle que elle soit égale à [0,1] ce qui me parait franchement faux vis à vis des axiomes de la topologie. Donc appelle t-on plutôt un recouvrement de B une famille Ai telle que la réunion de Ai contienne B ? Ceci me semblerai plus juste. Et satisferait ma première définition. Mais ensuite si l'on ne considère que [0,1] comme un espace topologique a part entière comment montrer qu'il est compact sans introduire un sur-espace topologique de [0,1] du genre lR ?

Merci

RoBeRTo
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[invitebe08d051]

Dans mon cours il est marqué, avec E l'espace topologique séparé, que est un recouvrement de E si la réunion de la famille est égale à E.

Petite précision:

On appelle recouvrement d'une partie de toute famille de parties de dont la réunion contient .

Et à mon avis, l'hypothèse d'espace topologique séparé n'induit pas l'égalité.

[invite5f67e63a]

Bonjour,
tu as la bonne définition un recouvrement ouvert d'un espace topologique X, c'est une famille d'ouvert egale a X.
Maintentant si tu as une partie A d'un espace topologique X, un recouvrement ouvert de A, c'est une famille d'ouvert de X dont la reunion contient A, c'est equivalent au fait que les ouverts intersectés avec A soient un recouvrement ouvert de l'espace topologique A.

[invite332de63a]

Merci.

RoBeRTo

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