Solution générale d'une équation différentielle homogène d'ordre 1

[jtruc34]

Bonjour,

en cherchant à résoudre l'équation , j'ai trouvé comme solution .

Seulement, comment se débarrasser de la valeur absolue ?

Merci !
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[ansset]

Ta solution est curieusement présentée. ( je ne sais comment tu aboutis à cette écriture )
De fait, cette équation archi connue ( on suppose a et b non nuls ) est simplement

C étant une constante ( positive ou négative ) donc il n'y a pas de pb de valeur absolue

[jtruc34]

Je m'intéresse à la dérivation de ces formules.

En fait, on obtient de façon immédiate . On intègre des deux côtés et on obtient .

On met l'exponentielle des côtés et on obtient ce que j'ai dit. On obtient très vite ce que tu viens d'écrire depuis cette équation. Mais avec une valeur absolue d'un côté. Je me demande comment l'enlever.

Merci beaucoup !

[gg0]

Il suffit d'appliquer la définition de la valeur absolue.

Cependant, soit a et b sont des constantes (*) et l'intégrale se calcule immédiatement, ce qui fait apparaître une constante positive; soit ce sont des fonctions, et ton écriture est à priori sans grande utilité, sauf comme méthode de départ, car on ne sait pas écrire les primitives de la ,plupart des fonctions autrement qu'avec le symbole de primitivation.
Autre chose : tu ne peux pas écrire comme ça, rien ne dit que tes dénominateurs sont non nuls.

Donc explique le cas que tu traites (a et b constantes, ou pas) et fais vraiment les calculs.

Cordialement.


(*) tu n'as pas dit de quoi tu parlais !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

Bonjour,

en cherchant à résoudre l'équation , j'ai trouvé comme solution .

à la réflexion, je ne vois pas de souci.
sur R ( ou un intervalle qcq ) y ( continue et dérivable ) ne peut pas changer de signe sinon ln(|y|) ne serait pas définie.
( c constante qcq )
l'exponentielle devient
avec
avec positif
d'où

soit
avec de signe quelconque.

[gg0]

Il faut quand même noter qu'il ne s'agit pas de la solution générale, puisque la solution évidente y=0 n'est pas de cette forme.

Cordialement.

[ansset]

exact, lié à l'écriture préalable y'/y qui exclut de fait cette solution.

[ansset]

Pour faire propre, il conviendrait d'ajouter un préambule.
soit la fonction est nulle partout
soit la fonction ne l'est pas et .....

[stefjm]

Il faut quand même noter qu'il ne s'agit pas de la solution générale, puisque la solution évidente y=0 n'est pas de cette forme.

Je vais encore sans doute dire une connerie, mais C=0 donne bien la solution générale comprenant y=0.
J'imagine que tu voulais souligner que la méthode cité par Ansett exclut ce cas car une exponentielle est positive strictement.

[gg0]

C'était même le message #1 de Jtruc34 dont je parlais.

Au fait, qu'est-ce qu'il est devenu ? Pas une remarque, même pas la politesse de dire merci !!

Cordialement.

[stefjm]

Il est passé à Fourier et à l'analyse spectrale...

[jtruc34]

Bonjour,

pour un raison que j'ignore, je n'ai reçu la notification par mail que du message #11 (j'ai sans doute mal configuré les notifications ou autre bêtise de ma part).

Je m'étais dit que je m'y attellerais quand j'aurais le temps dans la journée du 2 et je ne l'ai pas eu finalement (il faut dire que je passe un examen d'entrée en haute-école de musique demain, c'est une période de grand stress ) et puis j'ai oublié même que j'avais posé cette question.

Je ne suis pas du genre à abandonner ou à me barrer sans rien dire ni merci ni autre, je vais voir quand j'aurai du temps.

Merci beaucoup !

[jtruc34]

Il est passé à Fourier et à l'analyse spectrale...

Il faut dire en effet que quand on a pas de cours, la tendance à la procrastination et à l'éparpillement est grave...

[jtruc34]

Bonjour,

bon, alors, je m'y suis attaqué. Mais je ne suis pas allé très loin... :S

a et b sont effectivement des fonctions, pour préciser #1.

Donc, pour les cas ou ¬(a(x)=0 ou y(x)=0) pour tout x, je trouve effectivement ce qui a été fait. Maintenant, on est parti du principe que y(x) ne s'annule pas, mais on n'est pas sûr a priori que pour tout y qui s'annule en m on ait pour tout x (a(x)y'(x) + b(x)y(x) = 0 => y(x) = 0) (ce qui m'arrangerait bien).

J'hypothèse y qui s'annule en m, a(x) qui ne s'annule jamais et je regarde ce qu'il se passe. On obtient :

a(m)y'(m) + b(m)y(m) = 0 <=> a(m)y'(m) = 0 <=> y'(m) = 0 (je garde en tête que mon but est de montrer qu'il n'existe pas a(x), b(x) non nuls, et y(x) pas constante tel que y(m)=0 tels que a(x)y'(x) + b(x)y(x) = 0 pour tout x)

On a alors :

• soit sign(y(m-)) = sign(y(m+)), ce qui veut dire que sign(y'(m-)) = -sign(y'(m+)), ce qui donne:
  sign(a(m-)y'(m-)) = -sign(b(m-)y(m-) et sign(a(m+)y'(m+)) = -sign(b(m+)y(m+)) (car y est solution de l'équation)
  <=> sign(a(m-)y'(m-)) = -sign(b(m-)y(m-) et sign(a(m-)y'(m-)) = sign(b(m-)y(m-))
  => sign(b(m-)y(m-)) = -sign(b(m-)(y(m-) <=> -1=1 CONTRADICTION ! Donc (y(m) = 0 et ay'+by=0 ) => y = 0
• soit sign(y(m-)) = -sign(y(m+)) et là on fait le même tsointsoin

Donc on peut légitimement dire que pour a(x) et b(x) non nul, la solution générale est donnée par le message #5 de ansset.

Maintenant, pour a(x) et b(x) qui peuvent s'annuler c'est plus compliqué, je repasserai plus tard, je cherche encore tout seul mais je veux bien des pistes (je suis un peu perdu, à vrai dire)

Merci !

[jtruc34]

Pour clarifier, donc, les cas qu'il reste à traiter (si ce message est juste) sont donc :

• pour a qui ne s'annule pas, il existe x tel que b(x)=y(x)=0
• a qui s'annule et b et y quelconques

[ansset]

Donc on peut légitimement dire que pour a(x) et b(x) non nul, la solution générale est donnée par le message #5 de ansset.

non, la solution y(x)=0 pour tout x existe indépendamment des fct a et b.
mais si a et b sont des fonctions de x , on n'échappe pas au calcul d'une primitive de a(x)/b(x) ( qui n'est pas x*(a(x)/b(x) )
et si A(x) est cette primitive on retrouve au final l'ensemble des solutions
f(x)=Cexp(-A(x)) ou C , réel qcq, peut être nul ( qui correspond à la solution triviale y nulle partout )

[jtruc34]

Ce n'est pas ce que j'ai dit ? J'ai exclu une solution y qui serait nulle un point mis pas en son voisinage

[ansset]

ma réponse était sur le fait que si a et b ne sont pas des constantes, ma "démo" initiale ne convient pas, contrairement à ce que tu avances.

[jtruc34]

Oui j'avais bêtement mal lu le #5 mais si on garde la primitive, la solution est correcte (du moins pour a(x) et b(x) qui ne s'annule jamaisl

Mon message répondait à l'objection de gg0 sur le fait que y devait être non nul partout pour que la solution marche. Du coup, j'ai essayé de montrer que si y(x) était une solution nulle quelque part, alors il était forcément nulle partout et donc la solution triviale y(x) = 0. Ce qui fait que la solution avec l'exponentielle de la primitive est bien la solution générale.

[gg0]

Je n'ai pas dit "y devait être non nul partout pour que la solution marche." J'ai dit que ta solution initiale oubliait la solution évidente y=0.
Tu devrais lire vraiment ce qui est écrit.

Cordialement.

[jtruc34]

Je n'ai pas dit "y devait être non nul partout pour que la solution marche." J'ai dit que ta solution initiale oubliait la solution évidente y=0.
Tu devrais lire vraiment ce qui est écrit.

Cordialement.

Non je ne parlais pas de #6 mais de #4, mais visiblement, j'ai quand même mal compris.

Quand on dit qu'il faut faire gaffe à ce que les dénominateurs soient non nuls dans , on veut dire que y et a doivent être différents de f(x) = 0 et pas que , c'est ça ?

La solution est valable aussi avec des a qui s'annulent ?

(Bon, si ma démo est juste, elle est plutôt inutile, mais au moins on sait qu'on risque pas de trouver une fonction qui s'annule comme solution, si a et b ne s'annulent pas)

[ansset]

La solution est valable aussi avec des a qui s'annulent ?

oui par exemple avec a=rac(x) en cherchant une solution sur R+
mais la solution ne sera pas dérivable en 0.

[gg0]

Effectivement, tu as surinterprété mon message #4, qui te disait seulement de faire attention.
Si a est une constante, il faut qu'elle soit non nulle (donc une équation qui est bien d'ordre 1), et ton y ne doit pas s'annuler sur l'intervalle de valeurs choisi pour x.

Mais tu sembles t'être lancé dans une recherche de "solution générale" sans aucun intérêt. On ne procède pas ainsi quand on traite ce genre d'équation : On se place sur un intervalle où a(x) ne s'annule pas et on cherche à exprimer une solution. Je te conseille d'étudier des exemples simples, par exemple xy'+y=0, ou y' ln(x)+y/x=0 puis chercher des situations plus compliquées.

Cordialement.

[stefjm]

Possible que jtruc34 pense à ceci, vu ses centres d'intérêt :

De manière générale, on peut écrire les équations différentielles linéaires correspondant à de nombreux problèmes physique sous la forme du produit de convolution d'un opérateur par une fonction décrivant le système. On peut alors résoudre de manière générique le problème en déterminant l'inverse de convolution de l'opérateur (appelé fonction de Green). Joseph Fourier a été à l'origine de cette méthode lorsqu'il a cherché à résoudre l'équation de la chaleur. Sa formulation moderne a dû attendre l'arrivée de la théorie des distributions introduite par Laurent Schwartz.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Produi...de_convolution

[ansset]

bonsoir stefjm:
il me semble que tu vas plus vite que la musique ici.
Cdt

[stefjm]

bonsoir stefjm:
il me semble que tu vas plus vite que la musique ici.
Cdt

Je suis du genre rappeur : Personne ne comprend ce que je dis parce que je ne suis ni dans le ton, ni dans le rythme.

[jtruc34]

Merci beaucoup pour votre aide, je vois un peu où je me suis égaré, maintenant.