Equation différentielle homogène d'ordre 6

[invite78578daa]

Bonjour,

Je suis en train de travailler sur du contrôle vibratoire passif, et suis confronté à l'équation différentielle d'ordre 6 permettant d'extraire les fréquences propres d'une poutre à 3 couches jointe au message.
Avec g* complexe, mt masse totale, E module d'Young, I moment quadratique, Y fonction de E, et I.

J'ai essayé de passer par un système d'équations différentielles mais je tourne en rond, je ne vois pas comment faire.

Si quelqu'un ici à une piste je suis preneur ! =)

Merci, bonne fin d'aprem.

Camille.
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[acx01b]

renomme w(x) en f(x)
pose avec
ça te donne le polynôme fréquentiel associé à ton équa diff linéaire
trouve ses zéros
note que c'est un polynôme de degré 3 en a^2 donc c'est plus compliqué que si c'était un polynôme de degré 2

[gg0]

La réponse de Acx01b est plus pertinente !

Bonjour.

En séparant partie réelle et partie imaginaire, tu devrais arriver à un système de deux équations différentielles réelles. Je ne sais pas si ça va te simplifier le problème.

Cordialement.

[invite78578daa]

Ok merci, je vais essayer !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite78578daa]

Bonjour,

Je me suis repenché sur la résolution de cette équation après l'avoir mise entre parenthèses quelque temps.
J'arrive à la bi-cubique puis à la cubique comme indiqué dans la PJ, mais en appliquant Cardan, je me retrouve avec DELTA complexe à rallonge, et dont je peine à voir comment extraire les racines nécessaires à la suite des opérations ..

Pensez-vous que c'est la bonne manière de procéder ?

Merci encore, bonne journée!

[invite63e767fa]

Salut GlasWasser !

tu ne crois pas que ce serait plus sympathique si l'équation était écrite de façon plus "mathématique" que "physique" ?
Encore qu'il ne faille pas croire aux miracles lorsqu'il y a dedans les racines d'un polynôme du troisième degré : En théorie, expliciter complètement le résultat est possible. En pratique, cela risque d'être volumineux. Mais, si tu y tiens vraiment, bon courage...
http://www.wolframalpha.com/input/?i...c*w%28x%29%3D0

[Médiat]

Bonjour,

Je n'ai pas fait les calculs, donc je ne sais pas si c'est utile, mais je l'écrirais plutôt sous la forme (en espérant des simplifications) :

[invite63e767fa]

Bonjour Médiat,
je pense que cela revient au même. Il y a 3 paramètres indépendants quelle que soit l'écriture. La complexité de la forme complètement explicitée reste ce quelle est.

[invite63e767fa]

D'ailleurs, je ne voit pas en quoi il serait utile d'expliciter complètement les solutions, sous forme de formules lourdes et pratiquement inutilisables.
Il vaudrait mieux faire porter l'effort sur la façon de distinguer les cas de racines réelles, complexes, doubles, etc. de façon à décrire le comportement semi-périodique ou non de la fonction w(x).

[Médiat]

Bonjour,

Bonjour Médiat,
je pense que cela revient au même. Il y a 3 paramètres indépendants quelle que soit l'écriture. La complexité de la forme complètement explicitée reste ce quelle est.

Comme je l'ai écrit dans mon message précédent je n'ai pas fait les calculs donc cela ne sert peut-être à rien, mais, par exemple, une équation donne des calculs plus simple que le cas général (et moins de cas à étudier).

[invite63e767fa]

Oui, nous sommes d'accord : L'exemple de X²-aX-2a²=0 qui ne comporte qu'un paramètre (a) au lieu de deux (a et b) dans X²+aX+b=0 est bien choisi pour montrer la simplification qui peut en résulter dans certains cas.