Equation différentielle homogène

[invite8c935645]

Hello !

1) Je coince sur une équadiff : ty' - y + y ln(y) = t ln(t)
Si on isole y', on voit qu'il s'agit d'une équadiff homogène (donc de la forme y' = f(y/t)). Je pose h = yt et donc h'=y't + y mais ensuite je ne vois pas comment faire pour résoudre ...

2) J'ai essayé aussi de résoudre une autre équadiff qui "ressemblerait" à la précédente mais qui serait différente : ty' - y + t ln(y) = t ln (t) car là, si on pose h = yt, on a aussi que ln (h) = ln(y) + ln (t) et on peut remplacer t.(ln(y) + ln(t)) par ln (h). Malheureusement, je n'arrive pas non plus à résoudre cette 2e équadiff (qui pourtant semble plus simple que la première ...).

Quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre ces deux équadiffs ?
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[invite63e767fa]

Bonjour,

La première chose à bien voir est que ce sont des équations différentielles non-linéaires.
Donc, tout ce que tu as appris sur les équations différentielles linéaires (additivité des solutions, homogénéité, etc.) ne va pas te servir à grand chose.
La seconde équation est un peu plus abordable, bien que ...
ty' - y + t ln(y) = t ln (t)
y = h t
y' = h't+h
(h't² + h t) -h t +t ln(h) + t ln(t) = t ln(t)
h't² + t ln(h) = 0
h't +ln(h) = 0
soit h = exp(y) ou ln(h)=y
h' = exp(y) y'
exp(y) y' t + y = 0
(exp(y)/y)(dy/dt) = -(1/t)
(exp(y)/y) dy = -(1/t) dt que l'on intègre :
Ei(y) = -ln(t) +c
c = constante
Ei est la fonction spéciale "Exponentielle intégrale"
exp(Ei(y)) = C/t
avec C =exp(c)
Le résultat est :
t = C / exp(Ei(y)) = C / exp(Ei(ln(h)))
Ceci donne t en fonction de h. La fonction h(t) est la fonction réciproque (on peut l'exprimer formellement, mais restons en là ).
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En ce qui concerne la première équation :
ty' - y + y ln(y) = t ln(t)
il est aisé de voir une solution particulière : y = t
Mais, puisque l'équation n'est pas linéaire, on n'en déduit pas la solution générale de l'équation (qui ferait probablement intervenir des fonctions spéciales compliquées).
Je n'ai pas regardé plus loin car cela me semble hors du niveau de connaissances correspondant à la question posée.

[invite8c935645]

Tout d'abord, merci JJacquelin !

Pour ty' - y + y ln y = t ln t, comme tu l'as signalé, y=t convient. Avec une réponse particulière, je me suis dit alors qu'on aurait pu utiliser la méthode de Riccati mais, ça ne marche pas à cause du ln y ... Evidemment, s'il n'y avait pas le ln y, on pourrait la résoudre simplement (et sans Riccati ^^). Donc, je pense que c'est possible qu'il y a eu une erreur dans l'énoncé.

Pour ty' - y + t ln y = t ln t, ta réponse m'a rassurée (car je n'ai pas encore vu Ei et donc, je crois définitivement qu'il y a un problème avec l'énoncé ...). Par curiosité, je me demandais si on ne pouvait pas faire un petit peu plus simple à la fin (mais en reprenant bien sûr ton idée) à savoir :
on pose y = ht
L'équation ty' - y + t ln y = t ln t devient alors :
h't² + ht - ht = t ln h
h't² = t ln h
h'/ln h = 1/t qu'on intégre, ce qui donne :
li (h) = ln t + constante
D'où la solution générale est donnée sous forme implicite :
li (y/t) = ln t + constante

Je suppose que ça revient au même (sauf que ça paraît un peu moins compliqué pour moi ^^). A noter qu'en fait, je n'ai pas encore vu non plus li (ça va de paire avec Ei).

En tout cas, ta réponse m'a bien aidée