Bonjour,
Pour une équation différentielle du 1er ordre avec 2nd membre, la solution est : solution générale + solution particulière.
Ma question est : est ce que la constante déterminée avec les conditions à l'origine est appliquée uniquement à la solution générale ou bien aux 2 solutions ?
y = A ext (-t/tau) + 2t ; A constante
ou
y = A (exp (-t/tau) + 2t)
Merci.
Hello,
En fait, la solution générale = la solution de l'équation homogène + solution particulière.
La solution de l'homogène, c'est la solution que tu trouves quand tu considères l'équation de départ sans le terme indépendant (quand le terme indépendant est nul). A ce moment-là, tu trouves une solution à une constante près (par exemple, solution homogène = y(t) = A exp (-t/tau) où A est une constante).
Pour trouver la solution particulière, tu utilises la méthode de la variation des constantes : tu injectes ta solution homogène dans ton équation de départ (i.e. celle avec le terme indépendant) (sans oublier que y' devient alors A'exp(-t/tau) - (1/tau) A exp(-t/tau)).
Là, tu pourras obtenir que vaut la consante A. Une fois A trouvée, tu as la solution particulière qui est y(t) = A exp (-t/tau) (mais là, tu as remplacé A par ce que tu avais trouvé pour A).
Donc, la solution générale = sol. de l'homogène + sol. particulière
= A exp(-t/tau) + sol. particulière
--> Pour ton équation, sans connaître ton équation de départ, je dirais que la solution générale est : y(t) = A ext (-t/tau) + 2t (où A=contante)
Ok , c'est ce que je pensais, c'est une erreur de frappe du bouquin.
Merci.
P.S.: normalement, pour la solution particulière, tu as trouvé qu'elle était égale à y(t) = 2t exp (+t/tau) exp (-t/tau) = 2t
Bonjour,
Je rappelle simplement que la solution générale d'une qua diff n'est la somme d'une solution homogène et une particulière si et seulement si l'équation différentielle est linéaire.
Bonne journée.
