Groupe cyclique d'ordre n

[invite4308cf33]

Bonjour,

Je viens de commencer l'arithmétique. J'aimerais savoir ce qu'est un groupe cyclique d'ordre n (notamment dans le cas des Z/nZ).

Je sais ce qu'est un groupe cyclique (un groupe engendré par un élément a, dont tous les éléments peuvent s'écrire comme a^1, a^2 etc...).
Mais je n'arrive pas à comprendre ce qu'est un groupe cyclique d'ordre n ? Ça veut dire qu'il y a n éléments ?

Dans (Z/45Z) par exemple, comment définir les (sous-)groupes cycliques d'ordre 5, par exemple ? etc...

Merci d'avance pour toute réponse, je commence déjà à me mélanger les pinceaux avec toutes les définitions.....
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[Seirios]

Bonjour,

L'exemple typique de groupe cyclique d'ordre fini est l'heure indiquée pendant la journée. Déjà, les valeurs prises sont . Une fois que l'on dépasse 23, on retombe à 0. Par exemple, si je dis "à dans cinq heures" à 21h, cela correspond à 2h, autrement dit dans ce groupe (qui est ). Ton générateur est ici , puisque tout nombre est une somme de (la notation est ici additive), et est d'ordre parce que si tu additionnes vingt-quatre , alors tu obtiens l'élément neutre . Un exemple de sous-groupe de est .

[invite4308cf33]

Donc ce dernier sous-groupe est d'ordre 3. On pourrait également considérer le sous-groupe {0,4,8,12,16,20} d'ordre 6, etc !
Merci beaucoup pour cette explication très claire

[Médiat]

Bonjour,

Donc ce dernier sous-groupe est d'ordre 3.

C'est ce qu'on appelle les trois-huit.

On pourrait également considérer le sous-groupe {0,4,8,12,16,20} d'ordre 6, etc !

Ou l'encore plus connu {0, 12}, mis en évidence par la majorité des montres à aiguilles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4308cf33]

Ah, merci pour la précision !

En fait, il existe autant de sous-groupes qu'il existe de diviseurs de 24 ?

Sinon pour ce qui est de (Z/nZ)* (c'est-à-dire le groupe des éléments inversibles), j'aimerais poser une petite question :

Si on prend l'exemple de (Z/11Z), on a 10 éléments inversibles, donc l'ordre des éléments du groupe est soit 2, soit 5 ou soit 10 (sauf pour 1 d'ordre 1).

Si on prend l'exemple de (Z/3Z), on a 2 éléments inversibles, donc l'ordre des éléments du groupe (sauf pour 1) est 2 (en effet, 2 est d'ordre 2 dans Z/3Z).

Maintenant, si on prend l'exemple de (Z/4Z), il y a 2 éléments inversibles donc l'ordre de chacun des éléments (sauf pour 1) devrait être d'ordre 2. L'élément 3 est bien d'ordre 2, mais pour ce qui est de l'élément 2, quel est son ordre ?

Parce que du coup, je cale un peu là...

[invite57a1e779]

Bonjour,

Dans Z/4Z, 2 n'est pas inversible, n'appartient pas à (Z/4Z)* …
donc la question de son ordre dans ce groupe multiplicatif ne se pose pas !

[invite4308cf33]

Aaah, ben oui, tout me parait plus clair d'un coup

En fait le groupe (Z/nZ)* contient uniquement les éléments x tels que pgcd(n,x)=1.
Et comme 11 et 3 sont des nombres premiers, je comprends mieux mes premiers résultats !

J'étais en train de reproduire mon erreur avec (Z/9Z)* dont l'ordre est 6. Seuls les éléments inversibles (1, 2, 4, 5, 7 et 8) sont dans le groupe et donc ont pour ordre un diviseur de 6.
C'est plus clair dans ma tête !