Groupe fini et groupe cyclique

[moial]

Bonjour,

Il y a quelque chose que je n'ai pas bien compris:

En effet, je ne comprends pas pourquoi, par exemple, dans la démonstration ci-dessous on parle de l'ordre de tout élément du groupe fini (bien que ça fasse sens pour la démonstration)

"Un groupe G d'ordre premier p est cyclique et simple. En effet, tout élément non neutre x de G est d'ordre strictement supérieur à 1 et par ce qui précède un diviseur de p. Comme p est premier, l'ordre de x est p ; autrement dit, x engendre un groupe cyclique d'ordre p, nécessairement égal à G."

Parce que parler d'ordre de tout élément c'est dire que tout élément engendre un sous groupe cyclique.

Aurait-il été préférable de parler de tout élément de G qui possède un ordre?

Cordialement,
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[toothpick-charlie]

tout élément a un ordre : c'est l'ordre du sous-groupe (nécessairement cyclique) engendré par cet élément.

[Seirios]

Bonjour,

Si alors le sous-groupe est cyclique par définition, donc je ne vois pas où est le problème...

Il y a deux manières (équivalentes) de parler d'ordre d'un élément : soit comme le cardinal du sous-groupe (cyclique) , soit comme le plus petit entier tel que .

[moial]

tout élément a un ordre : c'est l'ordre du sous-groupe (nécessairement cyclique) engendré par cet élément.

Vous me dites que tout élément d'un groupe fini a un ordre?

(Il s'agît de ma question initiale)

[A voir en vidéo sur Futura]

[moial]

@Seirios

Oui, j'ai compris ça.

Ce qui me pose problème, c'est le fait de parler d'ordre de tout élément d'un groupe fini

[toothpick-charlie]

il te faut d'abord te convaincre que pour toute partie A d'un groupe G quelconque, il existe un plus petit sous-groupe, disons G(A) de G qui contient A. C'est ce qu'on appelle le sous-groupe engendré par A. ensuite, étant donné un élément x de G, tu considères le sous-groupe engendré G({x}) qu'on peut noter G(x) pour simplifier. Ce sous-groupe est par définition cyclique (un groupe cyclique étant un groupe qui admet une partie génératrice de cardinal 1). Si G est fini, alors G(x) qui est inclus dans G est fini. Il a donc comme ordre un entier positif, c'est l'ordre de x.

qu'est-ce que tu ne comprends pas ici?

[Seirios]

Si tu as compris la définition de l'ordre d'un élément, pourquoi doutes-tu que tout élément a un ordre ?

Peut-être ta question est-elle de savoir si tout élément d'un groupe fini a un ordre fini ? Si c'est le cas, il suffit de dire que tout sous-groupe (cyclique) d'un groupe fini est nécessairement fini.

[moial]

@toothpick-charlie

Infiniment merci,

Tout est clair maintenant!

[moial]

@Seirios

Merci, j'avais compris ça