ordre d'un groupe non cyclique

[invite0f6f1e2d]

salut ;

tous on sait que l'ordre ( on le note : ord ) d' un groupe G fini muni est son cardinal ( on le note : card )

un certain théorème de Lagrange dit que l'ordre d'un sous-groupe de G divise card(G)

maintenant si le groupe G est cyclique , l'ordre d'un sous-groupe de G peut être un diviseur de ord(G) { d'après Lagrange }

le problème se présente si G est non-cyclique car dans ce cas , on m'a dit que l'ordre d'un sous-groupe de G ne peut pas être égale à card(G):
en effet ; il peut être un diviseur de card(G) et il ne peut pas être égale à card(G)

qui trouve ça logique ?
si oui , y-t-il un exemple à donner pour me convaincre puis une simple démonstration pour le prouver ?

merci d'avance.
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[invite4ef352d8]

Salut !

tu fais une confusion entre l'Ordre d'un groupe et l'Ordre d'un element.

l'Ordre d'un groupe est juste le cardinal du groupe. (d'ailleur on évite de dire ordre, puisqu'on peut dire cardinal ^^)

l'Ordre d'un element x, et le cardinal du groupe engendré par x.

quelque soit le groupe G (comutatif ou non) l'ordre d'un sous groupe divise l'ordre du groupe, avec égalité si et seulement si le sous groupe est égal au groupe tout entier.


dans le cas de l'ordre d'un element, l'ordre de x et le cardinal d'un sous groupe de G, donc l'ordre de x est un diviseur du cardinal de G. il y a égalité si le groupe engendré par x est G tous entier, ce qui n'est possible que si G est cyclique (et x est un générateur de G).