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correction non comprise



  1. #1
    maatty

    correction non comprise


    ------

    Bonjour à tous,
    je me pose une question sur la correction d'un exercice et un argument que je ne comprends pas.
    On considère K corps commutatif et A=k[X,Y]/(X2 +Y2-1)
    La première question demande de montrer que tout élément a de A s'écrit de manière unique a=P(y)+xQ(y) où x=s(X) et y=s(Y) avec s surjection canonique de k[X,Y] dans A; pas de problème pour cette question
    La 2ème question demande de montrer que A est intègre. Je suis parti sur un calcul un peu lourd et posant ab=0 et en utilisant la question 1 pour arriver à a=0 ou b=0. Cette démo ne me plait pas trop et il se trouve que j'ai trouvé le même exercice dans un livre où la correction disait seulement il suffit de montrer que X2 +Y2-1 est irréductible. C'est là que je ne comprends pas. On a l'équivalence: I idéal premier <=> A/I intègre or dans un anneau intègre on a premier => irréductible mais la réciproque n'est vrai que si A est principal, mais k[X,Y] n'est pas principal.
    Y a-t-il un point qui m'échappe? (surement!)
    Merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    pilum2019

    Re : correction non comprise

    De ce que j'ai compris de ton message (un peu touffu) : x² + y² - 1 est irréductible entraine donc que l'idéal engendré par x²+y²- 1 est premier (parce que maximal), pas que x² + y² - 1 lui-même est premier.

  4. #3
    slivoc

    Re : correction non comprise

    dans les anneaux factoriels, irréductible implique premier, et K[X,Y]=K[X][Y] est factoriel ( lemme de transfert de gauss)

  5. #4
    maatty

    Re : correction non comprise

    Citation Envoyé par pilum2019 Voir le message
    De ce que j'ai compris de ton message (un peu touffu) : x² + y² - 1 est irréductible entraine donc que l'idéal engendré par x²+y²- 1 est premier (parce que maximal), pas que x² + y² - 1 lui-même est premier.
    Excusez-moi mais ce n'est pas la même chose de dire que l'idéal (x²+y²- 1) est premier et que x² + y² - 1 est premier?

  6. #5
    pilum2019

    Re : correction non comprise

    oui, c'est vrai. on s'est mal compris.

  7. A voir en vidéo sur Futura

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