correction non comprise

[maatty]

Bonjour à tous,
je me pose une question sur la correction d'un exercice et un argument que je ne comprends pas.
On considère K corps commutatif et A=k[X,Y]/(X² +Y²-1)
La première question demande de montrer que tout élément a de A s'écrit de manière unique a=P(y)+xQ(y) où x=s(X) et y=s(Y) avec s surjection canonique de k[X,Y] dans A; pas de problème pour cette question
La 2ème question demande de montrer que A est intègre. Je suis parti sur un calcul un peu lourd et posant ab=0 et en utilisant la question 1 pour arriver à a=0 ou b=0. Cette démo ne me plait pas trop et il se trouve que j'ai trouvé le même exercice dans un livre où la correction disait seulement il suffit de montrer que X² +Y²-1 est irréductible. C'est là que je ne comprends pas. On a l'équivalence: I idéal premier <=> A/I intègre or dans un anneau intègre on a premier => irréductible mais la réciproque n'est vrai que si A est principal, mais k[X,Y] n'est pas principal.
Y a-t-il un point qui m'échappe? (surement!)
Merci
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[pilum2019]

De ce que j'ai compris de ton message (un peu touffu) : x² + y² - 1 est irréductible entraine donc que l'idéal engendré par x²+y²- 1 est premier (parce que maximal), pas que x² + y² - 1 lui-même est premier.

[slivoc]

dans les anneaux factoriels, irréductible implique premier, et K[X,Y]=K[X][Y] est factoriel ( lemme de transfert de gauss)

[maatty]

De ce que j'ai compris de ton message (un peu touffu) : x² + y² - 1 est irréductible entraine donc que l'idéal engendré par x²+y²- 1 est premier (parce que maximal), pas que x² + y² - 1 lui-même est premier.

Excusez-moi mais ce n'est pas la même chose de dire que l'idéal (x²+y²- 1) est premier et que x² + y² - 1 est premier?

[A voir en vidéo sur Futura]

[pilum2019]

oui, c'est vrai. on s'est mal compris.