Bonjour à tous
je bloque sur la résolution d'un exercice dont je vous donne l'énoncé.
On considère un morphisme f de k[X,Y,Z] dans k[T] ( k corps commutatif) défini par f(X)=T, f(Y)=T2, f(Z)=T3;
1) Montrer que ker f est l'idéal engendré par (Y-X2) et (Z-XY).
2) En déduire que l'idéal en question est premier mais non maximal et déterminer un idéal maximal le contenant.
Pour la première question, je n'arrive pas à le déterminer directement alors je me suis dis je vais montrer la double inclusion.Il est immédiat que l'idéal est bien inclus dans ker f mais l'inclusion inverse me pose problème.
Je suis parti de P(X,Y,Z) appartenant à ker f. Je me suis dis que peut-être en le considérant comme polynôme de k[X,Z][Y], je pourrais faire la division euclidienne:
P(X,Y,Z)=(Y-X2)Q(Y) + R(Y) où deg(R)<1 Q,R éléments de k[X,Z][Y]
P(X,Y,Z)=(Z-XY)Q'(Y) + R'(Y) où deg(R)<1 Q',R' éléments de k[X,Z][Y]
En appliquant f il vient f(R(Y))=0 et f (R'(Y))=0 . C'est ici que je bloque, n'arrivant pas à montrer que R et R' sont nulles. Je sais que ce sont des constantes de k[X,Z][Y] , donc des éléments de k[X,Z], mais je n'arrive pas à conclure.
Pour la deuxième question: il est immédiat que f est surjective donc en factorisant le morphisme,
on a isomorphisme entre k[X,Y,Z] /I et k[T] où I est l'idéal en question or:
k corps commutatif => k intègre => k[T] intègre=> k[X,Y,Z] /I intègre <=> I premier
Mais k[T] n'est pas un corps donc I n'est pas maximal.
Je bloque en revanche pour la question, je me doute qu'il faut utiliser la bijection entre les idéaux de k[X,Y,Z] / I et les idéaux de k[X,Y,Z] contenant I
Toute aide est la bienvenue
merci
-----
Envoyé par pilum2019 