orthogonal d'ensemble.

[maatty]

Bonsoir,

je sui sur un exercice sans doute assez banal mais je bloque sur quelques points
On considère E l'ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R muni du produit scalaire défini par:
et on note F{telle que f nulle sur [0,1/2] } et G={ telle que f nulle sur [1/2, 1]}

1 MQ
2 Mq
3 Mq Que conclure?

Pour la première question, il est évident que les deux égalités se démontrent de manière identique, j'ai donc simplement essayé de démontrer la première. L'inclusion ne m'a pas posé de problème mais je bloque pour la deuxième. J'ai pris g donc pour tout élément de f de F on a <f,g>=0 mais je n'arrive pas proprement à montrer que g appartient à G;

2. Pas de souci.
3. J'ai montré que les ensembles n'étaient pas égaux, mais je ne vois pas la conclusion attendue.
Si quelqu'un pouvait m'aider je lui en serais reconnaissant
Merci
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[pilum2019]

pour la 1 : tu fais une démo par l'absurde.
tu prend g dans F orthogonal, et tu supposes g non nul entre 1/2 et 1.
maintenant tu poses h = 0 entre 0 et 1/2
et h = (x-1/2) g entre 1/2 et 1. Par construction h est continue entre 0 et 1.
A quel ensemble appartient h ?
Du coup quel produit scalaire intéressant obtient-on ?

[pilum2019]

pour la conclusion de la 3 : je ne connais pas le contexte de ton exercie, mais je suppose qu'on veut te faire parler d'espaces fermés, ou de dimension finie ou infinie ...

[maatty]

pour la 1 : tu fais une démo par l'absurde.
tu prend g dans F orthogonal, et tu supposes g non nul entre 1/2 et 1.
maintenant tu poses h = 0 entre 0 et 1/2
et h = (x-1/2) g entre 1/2 et 1. Par construction h est continue entre 0 et 1.
A quel ensemble appartient h ?
Du coup quel produit scalaire intéressant obtient-on ?

Merci beaucoup, je suis trop bête!!; j'avais effectivement essayé avec une fonction mais j'avais pris juste x-1/2 et j'étais bloqué à cause des possibles changement de signes de g.
A vrai dire, il n'y a pas de contexte, c'est un exercice extrait d'une feuille d'algèbre sur les espaces euclidiens (même pas hilbertiens ou prehilbertien) donc je ne sis pas; je reprendrai cela avec les indications que vous m'avez données
Encore merci

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