égalités avec les puissances des nombres

[Lo Pol]

Bonjour.

Pour calculer
10^5 =
10000 =

120 + 5*9^5 - 10*8^5 + 10*7^5 - 5*6^5 + 5^5 =
120 + 5*59049 -10*32768 + 10*16807 - 5*7776 + 3125

j'utilise une représentation triangulaire que je fais mienne (et que je n'avais jamais rencontrée auparavant) :

0 1
1 1 1
2 2 2 -1
3 6 3 -3 1
4 24 4 -6 4 -1
5 120 5 -10 10 -5 1

Ainsi, pour un nombre x donné :
x^0 = 1
x^1 = x = 1 + (x-1)^1
x^2 = 2 + 2(x-1)^2 - (x-2)^2
x^3 = 6 + 3(x-1)^3 - 3(x-2)^3 + (x-3)^3
x^4 = 24 + 4(x-1)^4 - 6(x-2)^4 + 4(x-3)^4 - (x-4)^4
x^5 = 120 + 5(x-1)^5 - 10(x-2)^5 + 10(x-3)^5 - 5(x-4)^5 + (x-5)^5

Aussi je me demande si ce résultat est connu depuis avant... et a été découvert par quel mathématicien ?

Merci par avance à ceux qui seront arrivés à cette ligne.
-----

[Médiat]

Aussi je me demande si ce résultat est connu depuis avant... et a été découvert par quel mathématicien ?

Pascal, XVII-ième siècle

[Lo Pol]

Merci pour le tuyau

[Lo Pol]

Le triangle commun de Blaise Pascal

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

n'est pas celui auquel je me réfère.
Il est utilisé pour développer l'expression (a + b)^n.

La boucle ne me semble toujours pas bouclée.

Merci par avance à ceux qui peuvent m'éclairer encore.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

j'utilise une représentation triangulaire que je fais mienne (et que je n'avais jamais rencontrée auparavant) :

0 1
1 1 1
2 2 2 -1
3 6 3 -3 1
4 24 4 -6 4 -1
5 120 5 -10 10 -5 1

et quelles formules de récurrence utilises tu pour créer tes suites ?
car j'ose espérer que tu ne fais pas le développement d'abord à chaque fois !!

[minushabens]

est-ce que la ligne suivante est 6 720 6 -15 20 -15 6 -1 ?

[gg0]

Une question bête : Ça sert à quoi ?

[ansset]

ta formule générale doit certainement être

ce qui doit pouvoir se démontrer avec les binomes de Newton.
mais j'ai la flemme.

ps: je n'en vois pas vraiment l'utilité, ni si cela a été déjà formalisé de cette manière.

[ansset]

pour la démo, en jouant sur
ainsi que sur les signes -
enfin, ce serait amusant en science ludique.
pas présenté comme un truc "révolutionnaire".

[ansset]

Une question bête : Ça sert à quoi ?

même interrogation.
mais maintenant qu'on a un formalisme qui semble crédible, ce serait peut être à lui de valider sa "formule" par une démo.(*)
( c'est posté en maths du sup , quand même )
(*) même en science ludique, ça a sa place.

[Lo Pol]

C'est exactement le résultat pour la puissance n = 6

[Lo Pol]

Merci pour le formalisme ansset.

Toute la difficulté réside dans une démonstration au rang n ou n + 1 en général. Pour l'initialisation y'a pas de souci : le développement marche !

A cet instant c'est une conjecture. Je sais, je sais.

[Lo Pol]

Il faut garder une approche ludique !

Faisons mieux que la calculatrice :

J'imagine que ma calculatrice n'affiche que 9 chiffres.
Elle m'affiche ERREUR pour 1 000 ³ = 1 000 000 000

Heureusement qu'elle a pu calculer
999 ³ = 997 002 999
998 ³ = 994 011 992
997 ³ = 991 026 973

Avec de l'huile de coude :
3 * 999 ³ = 2 991 008 997
3 * 998 ³ = 2 982 035 976

6 + 3 * 999 ³ - 3* 998 ³ + 997 ³ =
6
+ 2 991 008 997
+ 991 026 973
- 2 982 035 976
= 1 000 000 000

That's all Folks !

Et maintenant plus fort que le gros ordinateur !

Avec le tableur de LibreOffice 5.2.7.2 de l'école :
208 064 ³ = 9,00 722 124 416 614 * 10^15
208 063 ³ = 9 007 091 372 906 047
208 062 ³ = 9 006 961 502 894 328
208 061 ³ = 9 006 831 634 130 981

Et avec de l'huile de coude :
3 * 208 063 ³ = 27 021 274 118 718 141
3 * 208 062 ³ = 27 020 884 508 682 984

6 + 3 * 208 063 ³ - 3 * 208 062 ³ + 208 061 ³ =
6 +
27 021 274 118 718 141 +
9 006 831 634 130 981 -
27 020 884 508 682 984 =
9 007 221 244 166 144


Maintenant il faut que je m'attaque à cette démonstration

[Lo Pol]

J'écris plutôt
x^n = n! + S(k=1,n) ((-1)^(k+1) C(n, k) (x-k)^n)

J'ai vu le résultat
n! = S(k=0,n) ((-1)^k C(n, k) (n+a-k)^n) , pour tout a.
sur le site http://villemin.gerard.free.fr
Ce qui correspond à ma formule !

C'est présenté comme un résultat généralisé. Je cherche une démonstration !

[Lo Pol]

Merci à tous pour l'aide.

Je n'ai rien inventé !

Il me faut voir du côté de la machine de Babbage et du théorème :
La différence d'ordre n des nombres successifs élevés à la puissance n est constante. Cette constante est égale à n! (factorielle n)

Ça marche pour tout nombre x à la place des entiers successifs.