"moyenne" de deux fractions

[minushabens]

bonjour à tous.

je travaille en ce moment sur des statistiques autour de la loi multinomiale. Pour un certain paramètre j'ai deux estimateurs (par la méthode des moments), qui s'expriment comme des fractions, disons a/b et c/d où a,b,c,d sont des entiers positifs. Et puis je construit un estimateur du maximum de vraisemblance qui lui vaut (a+c)/(b+d). C'est une sorte de moyenne entre les deux estimateurs précédents.

ma questions est: est-ce que l'opération entre fractions : a/b * c/d -> (a+c)/(b+d) est connue en mathématiques? j'ai bien conscience que la question est mal posée puisque l'opération dépend de la représentation des fractions. On pourrait les supposer réduites (ce qui n'est pas le cas dans mon problème).
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[gg0]

Bonjour.

Ce ne peut pas être une opération sur les rationnels, puisqu'elle dépend des représentations (en particulier, (a+c)/(b+d) n'est pas égal en général à (a+2c)/(b+2d) ). Cependant, on trouve probablement utilisée cette "moyenne" dans différentes situations sans qu'elle ait pris un nom.
En fait, tu as, si je comprends bien, une opération qui construit, à partir de 4 nombres a, b, c et d, les quotients a/b, c/d et (a+c)/(b+d).

Cordialement.

NB : On apprenait autrefois (théorie des proportions, classe de quatrième) que si a/b=c/d alors a/b=c/d=(a+c)/(b+d).

[minushabens]

si on prend des fractions réduites à dénominateurs positifs on a une vraie opération. Je me demandais si elle avait été étudiée systématiquement.

[minushabens]

bon, cette loi n'est pas associative, donc elle n'est pas très intéressante. C'est plutôt comme façon de prendre la moyenne de deux fractions qu'elle aurait pu intervenir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[am2004]

Cette opération appelée la médiane est très célèbre et liée à une forme équivalente de l'hypothèse de Riemann (une conjecture pour laquelle la fondation Clay offre un million de dollars) : plus de 50000 items pour la recherche google en anglais! Cette notion a commencé à être popularisée à la révolution française dans le cadre de la mise en place de l'uniformisation des poids et mesure avec une première publication par Charles Haros mais ce calcul apparaît déjà chez Nicolas Chuquet au XVe siècle mais je ne sais pour quelle raison Chuquet a introduit cette opération.

[am2004]

Bonsoir à nouveau,
bon j'ai oublié de donner le mot clé pour la recherche sur google! c'est "Farey sequence" (car Haros a été oublié : pas de page wikipedia en français mais bien une page en anglais!).

[minushabens]

merci! c'est exactement ce que je cherchais.

[gg0]

OK !

Donc pas d'opération, mais une belle propriété des suites de Farey. J'avais rencontré ces suites, mais pas retenu le théorème.

Cordialement.