Interet de dx dans les integralles

[invite5eb13cb6]

Salut!

On m'a récemment informé que le dx des integralles ne signifait pas seulement que c'était x qui variait, mais que c'était beaucoup plus compliqué. Quelqu'un d'entre-vous sait-il ce a quoi dx fait allusion?

Merci!
-----

[invite32bb90e8]

On utilise cette notation car il faut préciser pour quelle mesure on intègre. Quand on note dx, c'est pour la mesure de Lebesgue.
C'est pas évident, et je te conseille de lire ça :
Intégrale de Lebesgue (et les chapitres autour si besoin)

Marc

[inviteca6ab349]

Salut,

avant tout, il faudrait indiquer ton niveau, ca peut aider pour repondre.
Sinon, on peut l'illustrer par un calcul d'air.
En effet, une facon de construire les integrales est la suivante :
on se donnde une courbe d'équation y=F(x) => 0, x allant de a à b. Quel est l'aire sous la courbe?

Une facon de l'obtenir est de proceder par approximations successives en l'encadrant. A priori on a aire en bleu <= A <= aire en rouge : [IMG]dx1.jpg[/IMG]

On peut encsuite affiner en faisant dex rectangles de chaque couleur : [IMG]dx2.jpg[/IMG]

Si on s'interesse aux aires bleues on a:
dans le 1, ABleue = F(a)*(b-a)
dans le 2, ABleue = F(a)*(b-a)/2 + F((a+b)/2)*(b-a)/2

Avec n divisions regulières de [a,b], on a
ABleue = Somme( k=0 à n-1 de F(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n )

Pour que ABleue s'approche de l'aire cherchée, on fait grandir n ; a la limite quand n tend vers l'infini, on obtient l'intégrale de a à b de :
F(x)*dx

F(x) represente la hauteur des rectangles infinitésimaux et dx leur largeur.

J'espere que mon explication t'éclaire, c'est pas evident sans tableau et plein de craie sur les mains.
A plus.

[invite5eb13cb6]

Salut.

Tout d'abord, merci pour vos réponses.
Pour ta question, l'histoire des rectangles sous la courbe, ne t'inquiète pas, ça c'est vieux. Très vieux...

Merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5eb13cb6]

Juste une question, on peut integrer sous d'autres "mesures" que Riemman et Lebesgue?
Et ça donne quoi?

[invite9e95248d]

Attention (sauf erreur) on ne parle pas de mesure de Riemman
Il y a l'intégrale de Riemman et celle de Lebesgue que l'on peut voir comme une généralisation de celle de Riemman.

Concretement tu peux définir par exemple dt=dx/exp(x)
Ou dx est la mesure de lebegues. dt est bien une mesure (il faut vérifié les axiomes en principe) et elle donne un poids différent à l'intégrale.
En fait tu peux utilisé des mesures différentes si tu cherches à rajouter un "poids" sur ton intégrale.
Par exemple une mesure de probabilité vaudra 1 sur l'ensemble d'étude.
Il existe une infinité de mesure, ne serait-ce que lorsque tu choisis comme mesure
A*dx, avec A un réel et dx la mesure de lebesgue, dans ce cas la ton calcule ne varie que d'un facteur A.
Mais il existe d'autre mesure que la mesure de lebesgue

[inviteca6ab349]

Salut,

bon, je voit que ma reponse etait quelques niveaux en dessous de la discussion, mais elle m'interesse.
AAlors si qqn pouvait me donner la def d'une mesure, je pourraos suivre un peu mieux.

Merci

[invite9e95248d]

alors normalement tu dois définir un triplet: {un ensemble=A, une tribu=T, une mesure=M}

Pour le dire simplement, la tribu c'est un peu tout les sous ensembles possible de A. Par exemple l'ensemble des intervalles de R est une tribu de R. Ensuite la mesure te permets de mesurer justement les éléments la tribu.


Les axiomes de la mesures: elle est positive qq soit l'élément qu'elle mesure.
M: T----->[0, infini[
M(ensemble vide)=0
M(Ut(i))=somme (M(ti))
La mesure de l'union d'ensemble DISJOINT égale à la somme des mesures de chaques ensembles.

Voila j'espère que c'est compréhensible

[invite5eb13cb6]

Je sais que ça dépasse les integralles et que ça empiète (de plein pied) dans la géometrie riemmanienne, mais c'est quoi.... des cartes?
Je sais que c'est la base et que ça parait c_n, mais c'est le seul truc qui me bloque dans le cours!

[invitea29d1598]

Je sais que ça dépasse les integralles

"dépasser", je sais pas, mais c'est sûr que ça sort du sujet...

et que ça empiète (de plein pied) dans la géometrie riemmanienne,
mais c'est quoi.... des cartes?

grossièrement une carte (comme son nom l'indique ) c'est un truc qui te permet de te repérer localement...

un physicien appelle ça "un système de coordonnées locales" si tu préfères...

après y'a des nuances, mais l'idée est là et je ne sais pas trop sur quel point précis porte ta question.

[invite9e95248d]

oui ça a plus trop de rapporta avec les intégrales la ^^

Mais en gros sur une variété, qui est un espace topologique connexe paracompacte (j'espère ne rien oublié.....), tu peux définir un sous ensemble O et un difféomorphisme F, le couple (O,F) s'appele une carte.
Et une carte te permets d'identifié localement une variété à un R^n