factorielle

[invitec12706a7]

Bonjour,

J'ai découvert une jolie formule mais je n'en ai pas de preuves élémentaire, si quelqu'un est inspiré...


<center></center>

(Attention, ce n'est pas une fraction au milieu, c'est le binôme de Newton k parmis n)
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[invite9e95248d]

c'est une récurrence ^^

j'ai commencé mais je suis bloqué sur la fin pour l'instant

en gros ce qu'il faut voir c'est que

C(n,k)*(n+1)=C(n+1,k)*(n+1-k)

Avec C(n,k) les combinaisons.

[invite9e95248d]

roooooooooh ça veut pas marcher ^^
pourtant je suis pas loin
Ceci dit c'set ou que tu as trouvé cette formule ?
Parce que je trouve ça assez fort comme caractérisation des factoriels
A mon avis ça doit se déduire d'autre chose comme de la fonction gamma (qui donne les factoriels) parce que ça se sort pas comme ça ce genre de formule ^^

[invite32bb90e8]

Ceci dit c'set ou que tu as trouvé cette formule ?
Parce que je trouve ça assez fort comme caractérisation des factoriels

Je confirme la formule jusqu'à n=100. Donc ça semble ok.

Marc

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e95248d]

je retire ce que j'ai dit je trouve pas ça fort du tout comme caractérisation du factoriel, pour la bonne raison que dans le C(n,k) il y à déjà un n! de cacher donc la définition se mord la queue

En réalité la question que tu devrais te poser c'est pourquoi:


somme(1 à n de: (-1)^(k+n)*(k+2)^n/(k!*(n-k)!)=1)

J'esserais de prouver ça ^^

[invite37968ad1]

Bonjour,

Bizarre autant qu'étrange, je viens de rencontrer une formule un peu du même genre dans un exo de probabilité avec p tirages successifs avec remise dans un ensemble à n éléments...

du coup, j'ai une idée d'une démonstration possible:

travailler plus généralement sur u(n;p) = somme-de-k=0-à-n de (-1)^p+kC(n;k)(k+2)^p

pour n &gt; 0, on a la formule de récurrence suivante:
u(n;p+1) = nu(n-1;p) - (n+2)u(n;p)
je peux la démontrer si on me le demande mais ce n'est pas commode avec les limites du code html
cela provient du fait que
(k+2)C(n;k) = kC(n;k) + 2 C(n;k) = nC(n;k)-nC(n-1;k) + 2C(n;k)

On peut alors démontrer par récurrence que, pour tout n &gt; 0 et tout p &lt; n
u(n;p) = 0
Pour n &gt; 0 et p = 0 il s'agit du calcul de (1-1)ⁿ = 0
pour n = 1, il suffit de vérifier seulement pour p = 0
pour n &gt; 1, on suppose que c'est vrai pour n-1 et on le démontre pour n
pour p = 0 pas de problème
supposons que ce soit vrai pour p, vérifions que cela reste vrai pour p+1 tant que p+1 &lt; n: u(n;p+1) = nu(n-1;p) - (n+2)u(n;p)
alors p &lt; n-1 donc u(n-1;p)=0, p &lt; n donc u(n;p) = 0 donc u(n;p+1)=0

Ensuite, il est facile de montrer par récurrence que u(n;n) = n!
En effet u(n+1;n+1) = (n+1)u(n;n) - (n+3)u(n+1;n) or u(n+1;n)=0 donc
u(n+1;n+1)= (n+1)u(n;n)
Comme u(1;1)= 1, ... u(n;n) = n!

Pour ceux que ça intéresse, ma formule était u(n;p) = somme-de-k=0-à-(n-1) de C(n;k)(-1)^k(n-k)^p

[invitec12706a7]

je retire ce que j'ai dit je trouve pas ça fort du tout comme caractérisation du factoriel, pour la bonne raison que dans le C(n,k) il y à déjà un n! de cacher donc la définition se mord la queue

ce qui est fort dans cette formule c'est que c'est un polynôme avec des puissances fixes et non variables.

J'aime bien la preuve de curieux, ça paraît plus naturel de prouver cela avec un point de vue probabiliste

Un de mes cher camarades a trouvé une jolie preuve où il compte des sous-monoïdes de deux façons différentes.

[invite9e95248d]

euh c'est quoi la variable de ton polynome ?

[invitec12706a7]

euh c'est quoi la variable de ton polynome ?

le k+2...

[invite9e95248d]

mais les k varies, tu peux pas considerer ça comme un polynome, ou alors y a un truc que je saisis pas.

[invitec12706a7]

le nombre de variable varie, mais pour un n donné, le polynôme est homogène en ces n+1 "variables"