f(x) = x! (factorielle et fonction gamma)

[Bleyblue]

Bonjour,

Dites je me demande : Est ce que cela a un sens de définir la fonction f(x) = x! ?
A mon avis oui, et je pense qu'elle pourrait être intéressante à étudier mais l'ennui c'est que cette fonction n'est définie que si x est un entier naturel donc c'est embêtant (non dérivable, non intégrable ) ...

Se pourrait il qu'il existe un moyen de définir x! pour tout réel ?
Si oui alors ce serait formidable, on pourrait de même définire :

f(x) =
Et voir un peu comment elle se comporte, etc ...

Je dis des bêtises ?

Merci
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[invitef591ed4b]

Mmm tu pourrais peut-être utiliser les fonctions plancher et plafond :

f(x) = [x] !

où les [ ] sont le plancher ou le plafond. L'avantage éventuel est que ta fonction devient intégrable (et dérivable par morceaux), mais bon ...

Ha oui, et elle est du coup définie sur tout lR, mais bon ...

[invitec314d025]

Salut.
Tu peux aller voir ici:
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
Ca généralise même aux complexes.
Bonne lecture et bon courage.

[Bleyblue]

Ah oui mais celle là je la connais.
Ce qui m'attire chez x! c'est qu'elle croît très vite, plus vite que l'exponentielle encore ...

EDIT: Croisement avec matthias, ok je vais voir, merci

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Ah attend, je n'ai pas bien lu ton message Sephi, j'avais lu [x] et non pas [x] !

Oui, ça ça serait bien
Je vais essayer de voir, merci bien !

[inviteab2b41c6]

L'ennui c'est que l'on a plus f(x+1)=(x+1)f(x) tandis qu'avec gamma on l'a encore... et surtout on a la dérivabilité.

[Bleyblue]

C'est vrai que ça restera une fonction en escalier malgré le "!"...
Mince, je ne sais pas comment faire pour représenter de telles fonctions avec ma TI 84 ...

Je peux poser quelques petites questions à ce propos ici ? Ou alors je dois changer de forum ?

merci

[inviteb7bf29c9]

Bonjour à tous,

On peut prolonger la fonction factorielle à R+: C'est la fonction Gamma:

Gamma(x) = intégrale de 0 à l'infini de t^(x-)exp(-t)

On a gamma (x+1) = x.gamma(x), et gamma (n+1) = n! si n est un entier positif.

[Bleyblue]

Oui. Malheureusement pour l'étudiée ça nécessite la connaissances des séries et des suites apparament, je ne connais pas ça encore mais ça va venir ...

Il va faloir que j'apprenne, ça devient urgent ...

merci

[inviteab2b41c6]

Bein ici c'est surtout l'étude des intégrales paramétrées qui compte

[Bleyblue]

Ahhh, on paramètre des intégrales maintenant ?
Décidément, une mise à niveau en analyse s'impose, une fois que j'en aurais finis avec les probas. ...

merci

[inviteab2b41c6]

On appelle une intégrale paramétrée une intégrale de la forme:

Intégrale sur R de f(x,t)dx.

Comme on le voit, cette intégrale est une fonction qui dépend de t, x étant une "variable muette, qui travaille sous le signe somme".

Gamma en est un bon exemple.
Certains opérateurs, tels celui de Laplace en est un également:
L(f)=F(s)=intégrale de f(x)exp(-sx)dx sur R+.
Sauf qu'ici c'est plus compliqué, la vrai variable ici est f.

[Bleyblue]

Je ne sais pas ce que c'est qu'un opérateur ...

Sinon oui en fait, c'est un peu comme avec les dérivées partielles, on ne considère que l'une des variables ...

merci

[invitef591ed4b]

Un opérateur (sur un espace vectriel) est une application de l'espace vectoriel vers lui-même.

[invite4793db90]

Salut,

une définition peut-être plus abordable d'un opérateur: c'est un objet qui, à une fonction, associe une autre fonction.

Exemples simples: les opérateurs f -> f² ou f -> |f| définis sur l'espace des fonctions numériques continues sur R.

Exemples moins simples: les transformation de Laplace, Fourier et d'une manière générale les opérateurs nucléaires.

Cordialement.

[Bleyblue]

Je ne sais pas non plus ce que c'est qu'un espace vectoriel même si j'ai souvent entendut parler ...
C'est qu'en secondaire on ne voit pas ça et pas plus en médecine

EDIT : croisement avec martini_bird, je lis tout ça

[Bleyblue]

Ok je comprend mieux.

Donc dans ton exemple :

f -> f²

Les fonction sont f et f², mais quel est l' "objet" ? Ou alors j'ai mal compris ta définition, et l'opérateur c'est simplement la transformation qui envoie f sur f² ... ?

merci

[invite4793db90]

l'opérateur c'est simplement la transformation qui envoie f sur f² ... ?

C'est ça.

[Bleyblue]

Ok alors, c'est chouette de m'avoir appris ça, c'est toujours ça de pris pour l'année prochaine ...

merci !

[invitef591ed4b]

une définition peut-être plus abordable d'un opérateur: c'est un objet qui, à une fonction, associe une autre fonction.

Un peu ambigu ... en mécanique quantique où on travaille avec des espaces vectoriels (enfin, des esp. de Hilbert), un opérateur (linéaire) est une application (linéaire) qui envoie un vecteur de l'espace sur un autre vecteur du même espace.

En algèbre linéaire, un opérateur est également une application d'un espace vectoriel dans lui-même (tout automorphisme est donc un opérateur linéaire, par ex.). Une application d'un espace vectoriel vers son corps est une forme linéaire (le produit scalaire, par ex.).

En particulier, si l'espace en question est un espace dont les éléments sont des fonctions, alors un opérateur envoie une fonction sur une autre fonction (du même espace) et on retrouve ce que tu dis.

[invite4793db90]

Salut Sephi,

je suis d'accord avec ta remarque: on omet souvent la mention "linéaire" (même s'il existe des opérateurs non-linéaires).

Quand il s'agit d'applications linéaires d'un espace quelconque dans un autre, je crois que l'on parle simplement... d'applications linéaires. Le terme opérateur étant en général réservé aux applications entre espaces vectoriels de fonctions (espaces de Hilbert, de Sobolev, etc.). Je crois que c'est surtout une question de vocabulaire.

J'avais jugé inutile de mentionner cette subtilité. Merci quand même pour la précision.

Cordialement.

[Bleyblue]

Je suis un peu perdu, je ne sais pas ce que c'est qu'un espace (vecotoriel ou non vectoriel)
Si vous avez une définition que je puisse comprendre, je veux bien ...

[inviteab2b41c6]

Un espace vectoriel c'est un espace ou tout se passe comme t'as envie que ca se passe:
Tu peux ajouter les éléments entre eux, les multiplier par des nombres bien choisi, et tu restes encore dans l'ensemble.

Ce n'est pas très formel, je laisse le soin à d'autres de tout expliquer, mais Martini Bird a publié des cours, tu devrais les regarder (ca doit être dans la catégorie: algèbre linéaire et structures algébriques si ca existe).

Par exemple, N n'est pas un e.v. parce que 1-3=-2 n'est pas dans N.
Les espaces vectoriels sont des espaces ou la structure est suffisament "stables" pour y effectuer des calculs et restant dans l'ensemble.

[invite4793db90]

Salut,

un espace vectoriel est un ensemble qui contient des éléments qui ressemblent aux vecteurs: on peut additionner des vecteurs et aussi les multiplier par un scalaire, ok?

Hé bien, on peut aussi additionner, et multiplier par un scalaire des fonctions continues IR: c'est l'espace vectoriel des fonctions continues sur IR.
De même, on peut définir l'espace des fonctions dérivables sur IR.

C'est une structure algébrique essentielle et il y a beacoup d'autres exemples que tu verras bientôt.

Cordialement.

[invitef591ed4b]

Rigoureusement parlant, il convient de connaître deux structures avant d'aborder celle d'espace vectoriel : les corps et les groupes. Le corps est la structure qui te fournit les scalaires, et le groupe est une structure minimaliste consistant en un ensemble d'éléments muni d'une opération (et satisfaisant à des propriétés agréables, comme l'existence d'un élément neutre pour l'opération, d'un inverse pour chaque élément, etc).

On parle ensuite d'espace vectoriel sur un corps, qui consiste en un groupe muni de l'opération d'addition, auquel on "ajoute" l'opération de multiplication par un scalaire.

Bref, un espace vectoriel, c'est un ensemble d'éléments dans lequel tu peux effectuer des opérations d'addition (entre éléments appelés vecteurs) et de multiplication (scalaire), et avoir des résultats qui restent des vecteurs.

Par la suite, tu peux ajouter des opérations de multiplication entre vecteurs (produits scalaires en fait) et là tu te diriges vers les espaces normés ou encore les espaces de Banach/Hilbert et tralala.

La géographie mathématique est assez riche de ce point de vue là

[Bleyblue]

D'accord je comprend je pense, merci bcp pour vos explications.
Je vais aussi aller jeter un oeil sur les cours de publiés par martini_bird ...

[invitea1a31709]

Ah oui mais celle là je la connais.
Ce qui m'attire chez x! c'est qu'elle croît très vite, plus vite que l'exponentielle encore ...

EDIT: Croisement avec matthias, ok je vais voir, merci

merci

bonjour merci quand meme ! mais non x! ne croit pas plus vite que l'exponantielle au voisinaje de l'infini ! l'expo l'enportera toujour sur l'algebric au voisinaje de l'infini.cé grosse ereurs merci qud meme bye

[invitec314d025]

merci d'avoir pris ta plus belle plume pour dire çà ....

[invite9c9b9968]

bonjour merci quand meme ! mais non x! ne croit pas plus vite que l'exponantielle au voisinaje de l'infini ! l'expo l'enportera toujour sur l'algebric au voisinaje de l'infini.cé grosse ereurs merci qud meme bye

Si, la factorielle est bien la fonction sur les entiers qui croît le plus vite. Pour s'en convaincre il suffit d'utiliser la formule de Stirling (cf rubrique Révisions), qui te donne ~ , je te laisse conclure.

@+

Julien

[invitec314d025]

Si, la factorielle est bien la fonction sur les entiers qui croît le plus vite.

Elle croit plus vite que l'exponentielle d'accord, mais on peut facilement en trouver qui croissent plus vite.