une propriété de la fonction Gamma

[invitec9750284]

Bonjour!

La fonction est définie par Gamma(x) = int(t^(x-1)exp(-t), t=0..infinity)

Je désire montrer que x*Gamma(x)=Gamma(x+1) par différentiation paramétrique de la fonction I = int ( t^(x-1)*exp(-a*t), t=0..infinity ) avec a comme paramètre.

Je trouve dI/da (a=1) = -Gamma(x+1)

Mais pour le reste je ne vois pas du tout.. Donc si quelqu'un pouvait bien m'éclaircir, ce serait sympa !

A+
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[invite8b04eba7]

Je désire montrer que x*Gamma(x)=Gamma(x+1)

Le plus simple je pense est de faire une intégration par parties.

[invitec9750284]

Le plus simple je pense est de faire une intégration par parties.

Oui je connais cette méthode mais j'aimerais connaitre la stratégie par différentiation paramétrique

Sinon comment montre-t-on la convergence pour x>-1 et la divergence pour x<-1 ?

[invite6f25a1fe]

Oui je connais cette méthode mais j'aimerais connaitre la stratégie par différentiation paramétrique

Sinon comment montre-t-on la convergence pour x>-1 et la divergence pour x<-1 ?

est Cpm sur . En 0, tu as que donc d'intégrale convergente sur ]0,1] si et seulement si 1-x<1, donc pour x>0 (la fonction gamma est bien définie pour x>0, pas pour x>-1, enfin, il me semble...). Il te suffit de faire (a peu près) la même chose en +oo.
Sinon, pour la propriété de la fonction gamma, je ne sais le faire que par Ipp, donc pour pour la différentiation paramétrique, je ne peux pas t'aider.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec9750284]

Merci pour la réponse !
Mais que veut dire "une fonction Cpm"?

[invitee1f11e55]

Merci pour la réponse !
Mais que veut dire "une fonction Cpm"?

Continue par morceaux je pense.

[invite6f25a1fe]

oui, désolé, j'aurais dû écrire en toute lettre. Cpm=Continue par Morceau.

[invite8b04eba7]

Oui je connais cette méthode mais j'aimerais connaitre la stratégie par différentiation paramétrique

Alors peut-etre que tu peux faire un changement de variable dans I (u = at) pour faire sortir le a et ensuite deriver. Je pense qu'en calculant ainsi de deux facons la derivee de I tu auras ton egalite.