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Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien



  1. #1
    Hectorticoli

    Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien


    ------

    Bonjour,

    Voila le problème sur lequel je me penche en ce moment :

    J'aimerais trouver les coordonnées du point d'intersection de 3 sphères S1, S2 et S3 et centre Xi,Yi,Zi et de rayon Ri (i=1 à 3).
    Je suppose que l'intersection existe :

    En cartésien, le système à résoudre est :

    (x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2=R1^2
    (x-x2)^2+(y-y2)^2+(z-z2)^2=R2^2
    (x-x3)^2+(y-y3)^2+(z-z3)^2=R3^2

    Le sytème étant grandement non linéaire, je pense qu'il faudrait chercher du côté d'une résolution géométrique.

    Je pensais traiter le problème en considérant un tétraédre (4 sommets, les 3 centres et le point d'intersection) de longeurs de côtés connus. Existe t-il des propriétés particulières pour un tétraédre quelconque?

    Voila, j'éspère avoir été clair, si vous avez des questions, de suggestions, des remarques, n'hésitez pas

    -----

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  3. #2
    ledieudesmammouths

    Talking Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    Salut,
    Indice : ton probleme est parfaitement lineaire...

  4. #3
    Hectorticoli

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    Euh, tu me dis si je me trompe, mais pour moi, la fonction carré est tout sauf linéaire, et tu ne peux pas faire de changement de variable du type (x-x1)^2=X vu que c'est (x-xi) i allant de 1 à 3.

    A quoi pensais tu pour le côté "linéaire"?

  5. #4
    skydancer

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    Bonjour,

    Je n'ai pas trop le temps de rentrer dans les détails mais voila une piste.

    1) les centres C1,C2,C3 des spheres et le point d'intersection G sont dans un plan : donc on paut raisonner en 2D avec des disques.

    2) G est compris dans le triangles C1 C2 C3

    3) C'est un probleme de barycentre , il s'agit de trouver tel que

    avec tes indications sur les rayons.

    Voila bonne chance

  6. #5
    ledieudesmammouths

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    Developpe tes carres. Tu as x, y et z au carre sur chaque ligne. Tu soustrais 2za2 et hop, c'est magique, c'est lineaire...

    Et, rien a voir, tu n'as pas besoin de supposer que l'intersection existe, le determinant du systeme te donneras une CNS pour ca.

    EDIT : Vive la geometrie, la solution avec les barycentre est beaucoup plus jolie et necessite moins de calculs

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Hectorticoli

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    Oui, pour le développement, j'ai percuté qqs minutes après avoir envoyé le message. Pour la méthode avec les barycentres, les 3 centres est le point d'intersection ne sont PAS dans le même plan. Je vais développer, ca me parrait plus facilement implémentable après ^^.

    Merci à tous les 2 pour ces aides

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  10. #7
    Hectorticoli

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    J'ai un "petit" problème en prenant la différence des équations pour retirer les carrés :

    Je pars des équations suivantes :




    en faisant L1-L2, L2-L3 et L3-L1 j'obtiens :





    Mon problème pour résoudre le système est que le déterminant correspondant à la matrice de la partie de gauche est nul... je suppose avoir retiré une équation en faisant mes soustractions 2 à 2...

    Quelqu'un aurait-il une idée?

    Merci d'avance.

  11. #8
    Hectorticoli

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    A la réflexion, je dois quand même garder l'une des 3 équations intactes... je vais obtenir x et y avec L1-L2 et L2-L3 et en gardant L3 comme dernière équation, je pourrai déterminer z...

    Je tente ca...

  12. #9
    doudache

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    Salut !

    Citation Envoyé par Hectorticoli Voir le message
    J'ai un "petit" problème en prenant la différence des équations pour retirer les carrés :

    Je pars des équations suivantes :




    en faisant L1-L2, L2-L3 et L3-L1
    Tu n'as pas le droit de faire ces trois operations si tu veux garder un systeme equivalent. Fais seulement les deux premieres et garde ensuite une des trois Li.

    De toute facons, il y a peu de chance d'obtenir quelque chose de lineaire vu que tu auras surement plusieurs points d'intersection. En faisant ce que je te propose precedemment, tu peux avoir deux equations lineaires et une de degre 2. Grace aux deux equations lineaires tu peux par exemple obtenir x et y en fonction de z et ensuite tu injectes le tout dans l'equation du second degre que tu pourras alors resoudre.

    C'est long a faire, donc surement pas la meilleure solution (sauf si Maple est ton ami). Je te conseille de chercher une solution plus geometrique.

    Bon courage !

    EDIT : C'est exactement ce que je voulais dire...

  13. #10
    Hectorticoli

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    En faisant comme ca, x et y reste fonction de z, et je ne peux pas isoler z après...

    D'autres idées?

  14. #11
    doudache

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    Citation Envoyé par Hectorticoli Voir le message
    En faisant comme ca, x et y reste fonction de z, et je ne peux pas isoler z après...
    Tu as x=f(z) et y=g(z). Si tu remplaces x et y par f(z) et g(z) dans L1 par exemple, tu obtiens une equation du second degre en z seulement.

  15. #12
    ledieudesmammouths

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    [ doublon ]

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  17. #13
    Hectorticoli

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    Maple est mon ami (enfin, si je puis dire) et même en lui tenant la main jusqu'à la résolution de la dernière équation, il me donne 4 ou 5 pages de résultats pour z...

    Enfin, à regarder la tête de la dernière équation une fois x et y injectés, je vois pas trop sur quoi il plante, mais je vais regarder de plus près...

  18. #14
    Hectorticoli

    Re : Intersection de 3 sphères dans un repère cartésien

    Bon, et bien, c'est "juste" que la solution est effectivement très longue analytiquement.

    je crois que les copier coller de Maple à Matlab seront de rigueur ^^

    Merci

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