Inégalité de rangs des puissances d'un endomorphisme

[DavianThule95]

Bonjour,

J'ai trouvé une exo de khôlle assez intéressant :

Soit Montrer que


En appliquant le théorème du rang, on arrive rapidement à vouloir montrer que , et je bloque là-dessus

Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance !
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[0577]

Bonjour,

je suppose que E=F est un espace vectoriel de dimension finie (pour que l'énoncé ait un sens).
On peut réécrire l'inégalité sur les dimensions des noyaux comme:

C'est un fait général (et relativement important) que la suite

est décroissante. Il y a plusieurs manières de démontrer ce résultat. Une manière de faire: considérer la restriction de
à , quel est son noyau, quelle est son image?

[DavianThule95]

Ah oui d'accord j'ai compris ! Merci !

Puisque j'en suis là, autant en profiter : j'ai essayé un autre exercice :

Soit . On définit alors :



On demande alors de 1) montrer que $\mathcal{A}$ est un sev, 2) calculer sa dimension.

1) J'ai réussi.
2) On a :

Et je suis bloqué...

[raymolk]

Si E est de dimension finie n, L(E) s'identifie à M_n(K), et u se représente dans la base canonique de M_n(K) par (de même pour v).
À partir de là, si on note T_u l'endomorphisme de L(E) qui à v associe uοvοu (et dont est le noyau), et que l'on représente T_u(v) comme élément de M_n(K), on voit quelles sont les dimensions de son image et de son noyau en fonction des coordonnées de u dans la base canonique de M_n(K).

[A voir en vidéo sur Futura]

[DavianThule95]

Ok merci ! Je crois que j'ai compris l'idée !