Polynômes

[mehdi_128]

Bonsoir,

Soit . Montrer que les racines distinctes de du polynôme : sont de module strictement inférieur à 1 et que toutes les racines de sont simples.
On pourra considérer le polynôme

Soit une racine de alors elle vérifie
Ce qui peut aussi s'écrire :

Je n'arrive pas à poursuivre.
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[jacknicklaus]

Ca se fait par l'absurde. Si x_k est racine double ou plus de P(X) alors P'( x_k ) = 0
Commence par calculer Q(X) et Q'(X) sous forme simple. Tu peux alors calculer Q'( x_k) de deux manières différentes, qui donnent un résultat différent. D'où contradiction.

[mehdi_128]

Oui mais je suis toujours bloqué à la première question : montrer que les racines distinctes de 1 sont de module strictement inférieur à 1.

[gg0]

Voir sur cet autre forum.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Il faut séparer les cas |x_k| > 1 et |x_k| = 1
et il faudrait voir à part le cas trivial n = 1 où P(X) = X - 1


si les racines vérifient alors


d'où contradiction

d'autre part, le terme constant du polynome P(X) = -1, et son terme de plus haut degré est nXⁿ donc pour les n racines

ce qui interdit à ces racines d'avoir toutes |X^k| = 1

[jacknicklaus]

ce qui interdit à ces racines d'avoir toutes |X^k| = 1

Gaffe de ma part. il ne s'agit pas de démontrer qu'elles ne sont pas toutes sur le cercle unité, mais que la seule sur ce cercle est x_k = 1.

Faut passer par . Je laisse faire mehdi.

[jacknicklaus]

je viens seulement de voir le post #4 qui m'avait échappé, et je vois que
1) mehdi disposait d'un corrigé !!
2) sur cet autre forum, mehdi avance lentement sur une méthode (d'ailleurs différente de celle que j'ai proposée, et qui marche très bien), sans se donner la peine d'indiquer qu'il n'est plus besoin de répondre ici. Pas très respectueux du temps des autres. Je pense que je ne répondrai plus à ses posts, désormais.