Convergence d'intégrale avec Formule de Taylor

[invite5eadf00c]

Bonsoir à tous,

Je dois déterminer la convergence de l'intégrale suivante :



Je préférerait tout d'abord résoudre ce problème en effectuant un développement limité d'ordre 3 en 0 de sin pour le problème en 0.

Après avoir fait le calcul de toutes les dérivées nécessaires de sinx, j'aboutis à cette expression (j'ai utilisé la Formule de Taylor avec reste intégral) :

où t appartient à [0,x]

Bref, on aboutit finalement à une drôle d'expression avec une "intégrale dans une intégrale".
Je dois donc commencer par simplifier :



Et c'est à ce niveau-là que je bloque, l'expression dans l'intégrale étant trop complexe... J'ai tout essayé (IPP, découpage en sommes d'intégrales) mais je ne pense pas avoir trouvé la bonne méthode à utiliser.


Merci d'avance pour votre aide !
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[albanxiii]

Bonjour,

Si l'expression à intégrer a un signe constant sur l'intervalle considéré, il est peut-être plus simple de considérer un équivalent. Qu'en pensez-vous ?

[invite51d17075]

bjr,
je me demande si tu ne t’embêtes pas avec ta seconde intégrale.
tu peux décomposer
en
et montrer que la première converge avec le DL à l'ordre 3 plus un o() , et la seconde naturellement.

[raymolk]

Si l'expression à intégrer a un signe constant sur l'intervalle considéré, il est peut-être plus simple de considérer un équivalent. Qu'en pensez-vous ?

Ça revient à peu près au même que ce que veut faire cosmos99, sans les complications du reste intégral, comme le dit ansset.
Car alors, on est en fait en train de dire que x - sin x est équivalent à x³ au voisinage de 0 (à une constante près).

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Merci, je sais ce que je fais Je vais toujours au plus simple et plus rapide.

[raymolk]

Ah désolé, je pensais que le « Qu'en pensez-vous ? » appelait une réponse ! ^^'

[invite5eadf00c]

Bonsoir,

Merci pour vos réponses

J'ai essayé la méthode proposée par ansset, où on décompose l'intégrale. Je n'ai pas eu de soucis pour la première, mais la deuxième m'a posé problème.

J'ai donc changé un peu mon raisonnement, mais cette fois-ci avec des équivalences, comme l'a proposé albanxiii. Le voici :


-> En :
la fonction est équivalente à soit
3/2 > 1 donc l'intégrale de l'équivalent précédent converge.

-> Au voisinage de 0 :
c'est à ce moment-là qu'on peut faire le DL de sinx à l'ordre 3:
Donc la fonction est équivalente à soit
-1/2 < 1 donc l'intégrale est convergente en 0

-> Donc l'intégrale est convergente entre 0 et


Qu'en pensez-vous ?

[raymolk]

Erreur : effacé.