Formule de taylor avec reste intégral

[invite9901c59a]

Bonjour.

Je viens de voir les formules de taylor avec reste intégral et j'ai dû mal à les appliquer. J'ai essayé de faire un exercice pour comprendre mais je bloque. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

Enoncé : Soit f(x) une fonction de classe C² sur R₊.

1. Ecrire la formule de taylor avec reste intégral à l'ordre 1 entre x et x+1
2. En déduire l'inégalité suivante :

Quelque soit x>0, 3/8 racine(x+1) <= (x+1)^3/2-x^3/2-(3/2)*x <= 3/8*racine(x)

1. f(x)= f(x) + (x-x-1)*f'(x)/1! +integrale^x+1_x(x-t)¹f²(t).dt

f(x) = integrale^x+1_x(x-t)¹f²(t).dt

On cherche une primitive de (x-t)¹f²(t)

u' = f²(t) u = f'(t)
v = (x-t) v'(t) = -1

u*v - [smb]integrale[/smb]u'.v' = (x-t).f'(t) + [f'(t)]

f(x) = -f(x+1)+f(x+1)+f'(x)

f(x) = f'(x) c'est étrange:s
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[invite57a1e779]

1. f(x)= f(x) + (x-x-1)*f'(x)/1! +integrale^x+1_x(x-t)¹f²(t).dt

C'est curieux, je pensais qu'une formule de Taylor entre a et b commençait par : f(b)=f(a)+...
Avec a= et b=x+1, c'est déjà mal parti.

[Médiat]

1. f(x)= f(x) + (x-x-1)*f'(x)/1! +integrale^x+1_x(x-t)¹f²(t).dt

f(x) = integrale^x+1_x(x-t)¹f²(t).dt

Ecrites en Latex vos formules seraient plus lisibles, donc plus lues !

Voir, éventuellement : http://forums.futura-sciences.com/ma...-de-forum.html

[invite9901c59a]

Merci et oui j'ai effectivement fait fausse route, j'ai mal appliqué la formule.

Du coup, on a :

Les bornes de l'intégrale c'est entre x et x+1

(1) On applique la formule de Taylor :



Soit

Si on pose



Et puis si on continue on arrive facilement à montrer l'inégalité. Merci, en fait j'ai commencé par f(x) =... au lieu de f(x+1) donc je ne comprenais pas pourquoi ça ne marchait pas :s

[A voir en vidéo sur Futura]