Projecteur

[invite61a8211d]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour cet exercice à partir de la question 1b. Merci de m'éclaircir.

On considère E un espace vectoriel.

Un projecteur est une application linéaire f de E dans E telle que f○f=f.

1a. Démontrer que si f est un projecteur, Id-f est également un projecteur.

1b. Démontrer que si f est un projecteur, Ker f = Im(Id -f) et Im f = Ker(Id -f).

1c. Démontrer que E = Ker f Im f.
Démontrer de plus que si E est de dimension finie alors E = Im f Ker f en s'aidant du théorème du rang.

1d. Montrer que f représente la projection sur Im f parallèlement à Ker f.

2. On appelle symétrie une application linéaire s de E dans E telle que s○s=Id.

2a. Démontrer que F = Ker(Id - s) et G= Ker( Id + s) sont deux sous-espaces supplémentaires de E.

2b. Démontrer que s représente la symétrie par rapport à F parallèment à G.

2c. Notons f la projection sur F parallèlement à G. Examiner s en fonction de f.
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[JPL]

Lis d’abord EXERCICES et FORUM et fais ce qui y est demandé. Tu auras des réponses ensuite.

[invite61a8211d]

J'ai dit j'ai fait la question 1a mais je bloque à la 1b, aucune idee

[raymolk]

Pour montrer l'égalité de deux ensembles, on montre les inclusions réciproques : Ker f C Im(Id -f) et Im(Id -f) C Ker f.
La seconde inclusion est immédiate, par définition de ce qu'est un projecteur, et la première n'est pas beaucoup plus dure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Il faudra évidemment utiliser les définitions de ker et Im et la propriété de définition d'un projecteur.

[invite61a8211d]

J'ai réussi pour la 2e mais la 1ere inclusion je bloque

[invite51d17075]

Pour la 2) tu peux regarder en général ce que deviennent les fonctions fo(Id-f) et (Id-f)of...

[invite61a8211d]

Ils sont nuls, mais je vois pas où ça mène

[gg0]

Retraduis en termes d'image et noyau de f et Id-f. Après-tout, c'est bien d'eux que tu veux parler ...

[raymolk]

J'ai réussi pour la 2e mais la 1ere inclusion je bloque

La première inclusion est vraie pour tout endomorphisme de E : regarde ce que vaut Id - f restreinte à Ker f.

[invite61a8211d]

C'est bon j'ai réussi, maintenant je dois faire la 1c jsp comment commencer et il manque le symbole somme directe dans l'enoncé

[gg0]

Prends un x de E. Tu dois montrer qu'il est la somme d'un élément de Im(f) et d'un élément de ker(f)=Im(Id - f). Pour avoir un élément de Im(f), tu n'as pas bien le choix, il te faut un f(??) et tu ne connais pas tant d'éléments de E que ça; idem pour l'autre ...

[invite61a8211d]

Alors si x est dans E alors f(x) est dans Im f et x-f(x) est dans ker f. Et f(x) +x-f(x) = x , ce qui prouve que ker f + im f = E.
Maintenant, il faut montrer que l'intersection de ker f et Im f est le vecteur nul?

[gg0]

Et tu n'as pas essayé ? C'est assez évident avec les définitions. Pourquoi attends-tu ?

Je ne comprends pas ton énoncé :
"1c. Démontrer que E = Ker f Im f.
Démontrer de plus que si E est de dimension finie alors E = Im f Ker f en s'aidant du théorème du rang."
Que manque-t-il ? Dans la première ligne, se symbole de somme directe (le + dans un cercle). Et dans la deuxième ?

Cordialement.

[invite61a8211d]

Oui c'est somme directe qu'il manque.
Du coup j'ai réussi à montrer que l'intersection était 0
Mais je ne sais pas comment le montrer grâce au théorème du rang

[gg0]

Donc c'est une deuxième preuve qui est demandée ? Alors simplement applique le théorème du rang à f.

[invite61a8211d]

Je n'ai pas eu de TD sur ça; je sais pas comment appliquer

[gg0]

Tu as le théorème, tu peux l'appliquer à f et voir ce que ça donne vu ce que tu as déjà prouvé.

Rappel : Si E=E'+E" et que dim(E)=dim(E')+dim(E"), on sait que la somme E'+E" est directe.

Cordialement.

NB : "Je n'ai pas eu de TD sur ça" est une excuse de fainéant ! Ce que tu n'es pas. Tu n'as pas besoin de TD pour penser !!

[invite61a8211d]

Dim(ker f) + dim(im f) = dim E
Donc dim(ker f) + dim(ker(id-f)) = dim E
Je vois pas ce qu'on peut faire après pour montrer le résultat

[gg0]

On peut se contenter de la première ligne, puis relire ... je t'ai tout dit.

[invite61a8211d]

Oui mais on a pas encore montré que ker f + im f = E

[gg0]

Ben si, tu l'as montré.
Si tu ne veux pas réutiliser le début de ta preuve précédente, je ne vois pas ce que tu pourrais faire du théorème du rang qui est toujours vrai.

[raymolk]

Peut-être que l'idée est d'utiliser cette caractérisation : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...endomorphismes
Pour un endomorphisme f de E en dimension finie, le théorème du rang implique que « Im f et Ker f sont supplémentaires si et seulement si leur intersection est réduite au vecteur nul ».
Soit donc x dans Im f, alors il existe y dans E tel que f(y) = x.
Si maintenant x est aussi dans Ker f, alors fof(y) = f(x) = 0 (toujours vrai), et comme f est un projecteur, fof(y) = f(y) = x = 0.
Donc l'intersection de Im f et Ker f est réduite au vecteur nul, et donc Im f et Ker f sont en somme directe.

[mehdi_128]

En précisant que car l'intersection de 2 sous espaces vectoriels est un sous espace vectoriel.

[gg0]

Mais justement, c'est ce qu'il a déjà fait (voir message #15). C'est une des deux parties de sa première preuve.

Finalement, l'idée est qu'avec le théorème du rang, la moitié de la preuve suffit.

Cordialement.

[raymolk]

Finalement, l'idée est qu'avec le théorème du rang, la moitié de la preuve suffit.

Bah oui, je vois pas trop quoi dire d'autre sinon : pas terrible comme question…

En précisant que car l'intersection de 2 sous espaces vectoriels est un sous espace vectoriel.

Ben ça, que 0 appartienne aussi bien au noyau qu'à l'image d'une application linéaire, c'est un peu le minimum syndical

[invite61a8211d]

D'accord merci. Le reste j'ai tout fait à part la 2c), je comprends pas trop par où commencer.

[gg0]

Avec un petit dessin dans le plan vectoriel et F et G de dimension 1, tu devrais voir ce qu'on peut trouver.

[invite61a8211d]

Je vois pas

[gg0]

Regarde où se trouve f(x) par rapport à x et s(x), puis comment trouver f(x) connaissant x et s(x), puis s(x) connaissant x et f(x).