Projecteur

[Faramoule]

Bonjour,
Je suis bloqué sur des questions concernant les projecteurs.
J'ai bien compris le principe de base des projecteurs et je connais les définitions mais je n'arrive pas à faire cette exercice.

Voilà d'abord un endomorphisme vérifiant trace=rang est il nécessairement un projecteur ?, je ne sais pas comment utiliser cela pour revenir à la définition de projecteur (fof=f) puis si trace = rang =1 montrer que c'est un projecteur.
A vrai dire je suis un peu perdu avec ces trace. = rang.

En attente d'une petite aide
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[gg0]

Bonjour.

Le mieux serait que tu donnes l'énoncé exact de ton exercice.
je ne suis pas très fort en algèbre, mais je ne vois pas pourquoi dans le cas général trace=rang donne un projecteur. Tu peux examiner quelques matrices d'endomorphismes en dimension 2 qui ont trace=rang=2 pour voir ce qui se passe (tu vois ce qu'est un projecteur de rang 2 en dimension 2 ?).

Cordialement.

[Neluge]

Bonjour,

Je ne pense pas non plus que trace = rang implique projecteur dans le cas général. D'après votre post, je comprends que l'énoncé est de montrer "tr(f) = rg(f) = 1" implique f projecteur. Auquel cas le problème est plutôt de comprendre les endomorphismes de rang 1 : quelle peut être la matrice de f dans une base bien choisie ?

[gg0]

Néluge,

même si ce que tu dis est l'évidence, il aurait été bob d'attendre que Faramoule ait réfléchi à son propre problème et soit revenu dire qu'il a trouvé, ou poser des questions. Ne serait-ce que son énoncé.
On sait que tu sais faire ce genre d'exercice (moi aussi, et je lui donnais des outils pour élaborer un contre exemple), que tu as deviné quel est l'énoncé correct (comme moi), mais on peut attendre qu'il se manifeste ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Faramoule]

En effet c'est bien montrer que si rg = tr = 1 alors on a un projecteur.
Alors pour l'énoncé je n'ai pas grand chose de plus, on suppose tr f = rg f =1, et il faut montrer que f est un projecteur.
Donc rg = 1 veut dire dim ( im f)=1 et tr = 1 donc il y a un seul coef diag dans la matrice de f et il vaut 1. La matrice de f serait une matrice carré :
1 0
0 0
avec un seul coef diag ?

[gg0]

Il va falloir justifier ça, d'autant qu'un endomorphisme a une infinité de matrices. D'ailleurs, pourquoi une matrice 2x2 ? C'est dans ton énoncé ?

As-tu déjà étudié pour un projecteur p le lien ker(p)/Im(p) ?

[Faramoule]

Merci ggo pour ton aide mais j'ai finalement trouvé (désolé pour le retard je n'ai pas internet la semaine)