projecteur

[planck18]

bonjour,
je dois montrer que pour p un projecteur de V dans V
la somme directe de kerp et Imp = V
or je sais pas du tout comment commencer....
est que quelqu'un peut me donner une piste?
merci beaucoup.
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[toothpick-charlie]

dans somme directe il y a somme et il y a directe. Commence par montrer que V est la somme de Ker p et Im p i.e. que tout vecteur u de V s'écrit u = v + w avec p(u) = 0 et w image d'un vecteur par p (il n'y a pas besoin d'aller chercher bien loin).

[PlaneteF]

Bonjour,

Tu peux montrer les 2 choses suivantes :

1)

2) Soit . Alors se décompose en avec et

N.B. : Ne pas oublier que par hypothèse


Cordialement


Edit : Argh, devancé par toothpick-charlie !

[PlaneteF]

Commence par montrer que V est la somme de Ker p et Im p i.e. que tout vecteur u de V s'écrit u = v + w avec p(u) = 0 et w image d'un vecteur par p (...)

Tu voulais dire : p(v)=0

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[planck18]

merci beaucoup
j'y avais pas pensé mais j'aurais dû

[PlaneteF]

Tu peux montrer les 2 choses suivantes :

1)

2) Soit . Alors se décompose en avec et

Petite remarque complémentaire : On peut aussi montrer tout de suite le point 2) en montrant en plus que les vecteurs et trouvés sont uniques, ... et du coup dans ce cas, plus besoin de montrer le point 1)

Cdt