Exponetielle de Matrice, formule de Lie-Trotter-Kato

[Mikiisa]

Bonjour ! Je suis désespéré (vu l'heure ...) je ne vois absolument pas comment répondre à cette question :

Soit .

J'ai démontré la majoration suivante :


Soit t>0 un réel, je doit montrer que
enfin c'est pas dit, mais j'imagine que c'est çà la limite.

Le truc c'est que je vois absolument pas comment me ramener à cette situation avec ma majoration. Par exemple si j'avais ||A^n - B^n|| <||A-B||^n je pourais faire quelque chose, mais ca me semble bien trop simple (et surtout faux).

Enfin bref si ya une super astuce pas évidente à voir, en tous cas je ne l'ai pas vu et la verrais probablement jamais je crois

help svp
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[Mikiisa]

Par exemple si j'obtenais une factorisation du style :

A^n - B^n = (A^n - B)( .....???.....) avec le ??? qui tendrais vers 0 ou serait borné, je pourrais conclure, mais je ne vois absolument pas

[Universus]

Bonjour,

Soient et deux matrices carrés de même dimension et un entier. Posons et . Nous pouvons montrer que . En effet, cela suit par récurrence de l'identité et des propriétés des normes.

Ici, pour n fixe, si je note et les matrices que vous notiez et , nous voulons prendre et . Notons d'une part que et d'autre part que . Ainsi, .

Ainsi, . La constante de proportionnalité est en , donc .

[Mikiisa]

Merci beaucoup !

C'est dans ce sens que je cherchais mais je n'avais trouver...

[A voir en vidéo sur Futura]