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Système de deux équations différentielles du second ordre



  1. #1
    ClementDDD

    Système de deux équations différentielles du second ordre


    ------

    Bonjour,

    Dans le cadre d'un projet pour ma seconde année de licence, je cherche à étudier puis programmer la solution donnant la trajectoire d'une balle sur un plateau tournant par rapport au référentiel terrestre, supposé galiléen, pour un observateur situé sur le plateau.

    Ainsi en développant quelques calculs en polaire je me retrouve avec ce système d'équations :



    Évidemment, les inconnus sont et , la grandeur correspond à la vitesse de rotation du plateau supposée constante, et la masse n'intervient pas dans le problème car j'ai négligé toutes sortes de frottements (dans un premier temps)

    Je sais lorsque je suis capable de résoudre des équations différentielles du second ordre ou non, mais jamais je ne m'étais confronté à ce genre de système d'équations différentielles. Savez-vous comment faut-il s'y prendre pour isoler une variable ?

    -----

  2. #2
    Médiat

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Bonjour,

    Je ne suis pas allé au bout des calculs, mais il me semble que l'on peut se simplifier la vie en posant (pas de problème de domaine)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  3. #3
    ClementDDD

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Merci pour votre réponse rapide,

    effectivement cela a l'air drôlement astucieux puisque seuls des dérivées temporelles de apparaissent...
    Je développerai les calculs ce soir et je vous tiendrais au courant

  4. #4
    ClementDDD

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Je n'ai pas réussi à isoler les variables en utilisant cette méthode :/

    Je voulais travailler en polaire en pensant que cela simplifierait les équations, mais tout compte fait, le système m'a l'air plus simple en cartésien.
    Voici ce que je trouve, à noter que je pense que les équations sont correctes car je les ai retrouvé ensuite en faisant des recherches dans un livre de mécanique du point



    Malheureusement je me retrouve au même problème qu'au départ... peut-on séparer une variable pour envisager une résolution numérique ? Ou peut-être que pour la résolution numérique il n'est pas nécessaire de séparer les variables et que je n'ai pas encore appris à le faire ?

    Merci

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    azizovsky

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Salut, essaye avec la variable complexe: .

  7. #6
    ClementDDD

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Merci de ton conseil

    Je n'ai jamais abordé la notion de dérivée pour les nombres complexes, peut-on écrire et ?


    En recherchant à propos des systèmes d'équa diff couplés je suis tombé sur ce topic

    http://forums.futura-sciences.com/ph...-couplees.html

    J'y ai lu :

    "The méthode, c'est d'écrire tes equations sous la forme vecteur = matrice x vecteur, et diagonaliser la matrice."

    Est-ce ce que je dois faire pour résoudre ce problème ?

  8. #7
    azizovsky

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Salut, tu'as : , on peut l'écrire : , La résolution de l'équation passe par la recherche des solutions de l'équation caractéristique
    si je me rappele bien .

  9. #8
    ClementDDD

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Ah oui j'ai pas pensé pensé à factoriser par ! Merci J'essaie de continuer!

    Le discriminant de ce polynôme est nul, il admet une racine double :



    Donc on peut écrire la solution de l'équation en :



    et sont deux constantes à déterminer.

    On revient à et en exprimant l'exponentielle avec cosinus et sinus et on retrouve et car



    C'est bien ça ? Si c'est cela c'est parfait j'aurais même pas besoin d'utiliser un ordinateur !
    La solution à l'air d'être une spirale, ce qui ne paraît pas absurde compte tenu du problème
    Dernière modification par ClementDDD ; 23/04/2015 à 15h05. Motif: oubli d'un mot

  10. #9
    azizovsky

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Salut, je ne vois que du rouge (latex...), le reste c'est à toi , bon continuation.(j'ai appris à bricoler les équations en physique, une mauvaise habitude pour la rigueur mathématique).

  11. #10
    ClementDDD

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Comment cela du rouge ?

    Merci beaucoup pour votre aide !

  12. #11
    azizovsky

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    je ne vois pas tous les équations (rouge: problème de latex), on tous cas, tu'es sur la bonne voie, bonne continuation .

  13. #12
    ClementDDD

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Bonjour, je rencontre une nouvelle difficulté par rapport à cette équation et ce problème physique. Je m'explique.

    Je m'intéresse toujours à cette équation :



    Pour cette équation, grâce à l'aide que l'on m'a fournit plus haut j'ai trouvé un ensemble de solutions à cette équation :



    Avec et deux constantes qui dépendent des conditions initiales, et le temps.

    Comme vous le constatez, si on se place au temps , alors nécessairement

    Et c'est bien là le problème ! Pour établir les expressions de et je n'ai donné aucune information concernant les conditions initiales et il se trouve que je ne veux pas forcément que ma balle soit situé sur l'axe à l'instant initial... J'aurais aimé trouver une équation plus générale qui convienne à n'importe quelle position de la balle à l'instant initial, me laissant libre de choisir mes axes tels que je le souhaite.

    Intuitivement puis à l'aide de ma calculette, je me doute qu'il faut obtenir une équation de cette forme :



    est une constante qui se détermine à l'aide des conditions initiales et qui physiquement se traduirait par l'angle entre l'axe et à l'instant initial ( est le point caractérisant la balle). En traçant une courbe paramétrée sur ma calculette, je vois que cette équation correspond parfaitement à ce que recherche.

    Mon problème est que je n'arrive pas à l'établir. Je ne sais comment, à partir de l'équation différentielle, faire apparaître cette phase ...

    Quelqu'un aurait une piste ? Je peux écrire en détail le raisonnement qui aboutit à l'équation que j'ai trouvé si cela peut vous aider à chercher mon erreur...

    Merci

  14. #13
    azizovsky

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Bonjour, la solution avec des constantes complexes, càd , pour les condition initialles : .

  15. #14
    ClementDDD

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Bonjour,

    Effectivement j'ai bêtement considéré et comme des réels alors qu'ils ont tout à fait le droit d'être complexes...

    Je n'ai plus qu'à calculer tout ça ! Merci

  16. #15
    ClementDDD

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Bonjour,

    Après avoir gratté quelques équations et en conservant les notations des équations précédentes je me retrouve à ce niveau là :



    que j'ai obtenu après avoir posé :



    Je me retrouverais avec une équation en factorisant telle que je la voulais là-haut si seulement

    Je ne vois pas pourquoi une telle égalité serait vrai... L'est-elle ? Si oui pourquoi ?

    Merci

  17. #16
    azizovsky

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Salut, et une constante, deux propositions inconciliables
    Dernière modification par azizovsky ; 29/04/2015 à 08h53.

  18. #17
    ClementDDD

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Bonjour,

    En lisant votre réponse que je ne comprenais pas, je me suis rendu de la faute que j'ai commise à mon dernier post.

    Je ne veux pas que , enfaite je souhaite factoriser par

    et pour cela, il me faut ...

    Je me demandais donc si cela est possible ou si j'ai déjà obtenu la bonne équation ?

    Merci

  19. #18
    azizovsky

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Bonjour, on'a et ce qui donne si je me suis pas égaré

    si tu cherche la beauté de l'équation, pour moi c'est celle-ci .(affixe d'un vecteur)

  20. #19
    ClementDDD

    Re : Système de deux équations différentielles du second ordre

    Bonjour,

    Vous avez raison, je renonce à trouver une forme "jolie" en cartésien alors que cette équation fait très bien l'affaire.

    J'ai utilisé cette expression de et je l'ai tracé dans le plan complexe à l'aide de Scilab, la courbe est logiquement identique à la courbe paramétrée dans le plan

    Le rendu est celui-ci auquel je m'attendais... Merci pour votre aide

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